ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(x^2 — 8x + y^2 + 4y + 20 = 0;\)
2) \(5x^2 — 2xy + y^2 — 4x + 1 = 0;\)
3) \(\sqrt{y-1} = \sqrt{-x^2(x-1)^2};\)
4) \(y^2 = \sqrt{1-x^2} — 1.\)

Решить уравнение:

1) \(x^2-8x+y^2 +4y+20=0;\) \((x^2-8x+16)+(y^2+4y+4) =0;\) \((x-4)^2 + (y + 2)^2 =0;\)
Первое уравнение:
\(x-4=0;\)
\(x = 4;\)
Второе уравнение:
\(y + 2 =0;\)
\(y =- 2;\)
Ответ: \((4; — 2)\).

2) \(5x^2 — 2xy + y^2 — 4x + 1 = 0;\) \((4x^2-4x+1) + (x^2-2xy+y^2) =0;\) \((2x-1)^2 + (x-y)^2=0;\)
Первое уравнение:
\(2x -1 = 0;\)
\(2x = 1;\)
\(x = \frac{1}{2};\)
Второе уравнение:
\(x-y = 0;\)
\(y = x = \frac{1}{2};\)
Ответ: \((\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\).

3) \(\sqrt{y-1}= \sqrt{-x^2(x-1)^2};\)
Выполняется неравенство:
\(-x^2(x-1)^2\leq 0;\)
\(\sqrt{-x^2(x-1)^2}=0;\)
Первое уравнение:
\(-x^2(x-1)^2=0;\)
\(x(x-1)=0;\)
\(x_1 = 0,\ x_2 = 1;\)
Второе уравнение:
\(y-1 = 0;\)
\(y = 1;\)
Ответ: \((0; 1);\ (1; 1)\).

4) \(y^2 = \sqrt{1-x^2} — 1;\)
\(y^2 + 1 = \sqrt{1-x^2};\)
Выполняются неравенства:
\(1-x^2 \leq 1,\ y^2 + 1 \geq 1;\)
Первое уравнение:
\(1 — x^2 = 1;\)
\(x^2=0;\)
\(x = 0;\)
Второе уравнение:
\(y^2 +1 = 1;\)
\(y^2 = 0;\)
\(y = 0;\)
Ответ: \((0; 0)\).

1) Рассмотрим уравнение \(x^{2}-8x+y^{2}+4y+20=0\). Для упрощения выделим полные квадраты:
\(x^{2}-8x\) можно записать как \((x-4)^{2}-16\), а \(y^{2}+4y\) как \((y+2)^{2}-4\). Подставляем:
\((x-4)^{2}-16+(y+2)^{2}-4+20=0\). Приводим подобные:
\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=0\).
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, а сумма квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю.
Получаем систему:
\(x-4=0\), отсюда \(x=4\);
\(y+2=0\), отсюда \(y=-2\).
Таким образом, единственное решение — точка \((4;-2)\), поскольку только при этих значениях оба квадрата равны нулю и исходное уравнение выполняется.

2) Уравнение \(5x^{2}-2xy+y^{2}-4x+1=0\) преобразуем, группируя члены:
\(5x^{2}-2xy+y^{2}-4x+1=(4x^{2}-4x+1)+(x^{2}-2xy+y^{2})=0\).
\(4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}\), а \(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\).
Итак, уравнение принимает вид \((2x-1)^{2}+(x-y)^{2}=0\).
Сумма квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю:
\(2x-1=0\), отсюда \(x=\frac{1}{2}\);
\(x-y=0\), отсюда \(y=x=\frac{1}{2}\).
Проверим найденные значения в исходном уравнении:
\(5\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot\frac{1}{2}+1=5\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-2+1=\)
\(=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-1=0\).
Решение \((\frac{1}{2};\frac{1}{2})\) подходит, других решений нет, так как квадраты равны нулю только при равенстве переменных найденным значениям.

3) В уравнении \(\sqrt{y-1}=\sqrt{-x^{2}(x-1)^{2}}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому \(-x^{2}(x-1)^{2}\geq 0\).
\(x^{2}(x-1)^{2}\) всегда неотрицательно, значит, чтобы знак был неотрицательным, выражение должно быть равно нулю:
\(-x^{2}(x-1)^{2}=0\), отсюда \(x^{2}(x-1)^{2}=0\), то есть \(x=0\) или \(x=1\).
Подставляем в исходное уравнение:
Если \(x=0\), то \(\sqrt{y-1}=\sqrt{0}=0\), значит \(y-1=0\), \(y=1\).
Если \(x=1\), то \(\sqrt{y-1}=\sqrt{0}=0\), значит \(y-1=0\), \(y=1\).
Ответ: \((0;1)\), \((1;1)\).
Других решений нет, так как для других значений \(x\) выражение под корнем отрицательно, и вещественных решений не существует.

4) В уравнении \(y^{2}=\sqrt{1-x^{2}}-1\) и \(y^{2}+1=\sqrt{1-x^{2}}\) требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \(1-x^{2}\geq 0\), то есть \(-1\leq x\leq 1\).
Из второго уравнения: \(y^{2}+1=\sqrt{1-x^{2}}\). Значит, \(\sqrt{1-x^{2}}\geq 1\), то есть \(1-x^{2}\geq 1\), отсюда \(x^{2}=0\), \(x=0\).
Подставляем \(x=0\) в первое уравнение:
\(y^{2}=\sqrt{1-0}-1=1-1=0\), значит \(y=0\).
Проверяем оба уравнения:
Первое: \(y^{2}=0\), второе: \(y^{2}+1=1\), оба равенства выполняются.
Ответ: \((0;0)\).
Других решений нет, так как для других значений \(x\) не выполняется условие \(\sqrt{1-x^{2}}\geq 1\), а значит, система не имеет решений вне найденного.