ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 9;\)

2) \((3x-2)^2 + (y-1)^2 = 9;\)

3) \((|x|-2)^2 + (y-1)^2 = 9;\)

4) \(([x]-2)^2 + ([y]-1)^2 = 9.\)

1) Центр окружности: \((2; 1)\), радиус \(3\).

2) Центр окружности: \((\frac{2}{3}; 1)\), радиус \(3\).

3) Две окружности:

при \(x \geq 0\) — центр \((2; 1)\), радиус \(3\);
при \(x < 0\) — центр \((-2; 1)\), радиус \(3\).

4) Множество точек, удовлетворяющих:

\(( [x] — 2 )^2 + ( [y] — 1 )^2 = 9\),
где \([x]\) и \([y]\) — целые части \(x\) и \(y\).
Это окружности с центрами в целых точках \((k; m)\), где \(k, m \in \mathbb{Z}\), такие что \((k-2)^2 + (m-1)^2 = 9\).
Возможные центры:
\((5; 1)\), \((-1; 1)\), \((2; 4)\), \((2; -2)\), \((4; 4)\), \((4; -2)\), \((0; 4)\), \((0; -2)\)

1) Уравнение \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 9\) — это уравнение окружности с центром в точке \((2; 1)\) и радиусом \(3\), так как \(9 = 3^2\).

2) Уравнение \((3x-2)^2 + (y-1)^2 = 9\) преобразуем:

Пусть \(X = 3x-2\), тогда \(X^2 + (y-1)^2 = 9\), то есть окружность с центром \((2; 1)\) в новых координатах.
Вернемся к исходным:
\(3x-2 = a\), значит \(x = \frac{a+2}{3}\).
Центр: \(x = \frac{2}{3}, y = 1\), радиус по \(x\): если \(X\) меняется от \(2-3\) до \(2+3\),
то \(x\) меняется от \(\frac{2-3+2}{3} = \frac{1}{3}\) до \(\frac{2+3+2}{3} = \frac{7}{3}\).
Но проще: окружность с центром \((\frac{2}{3}; 1)\), радиус \(3\) по \(X\), значит по \(x\) радиус равен \(1\), так как \(3x\) растягивает ось \(x\) в 3 раза.
Ответ: окружность с центром \((\frac{2}{3}; 1)\), радиус по \(x\) — \(1\), по \(y\) — \(3\).

3) Уравнение \((|x|-2)^2 + (y-1)^2 = 9\).

Рассмотрим два случая:
Если \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\):
\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 9\) — окружность с центром \((2; 1)\), радиус \(3\).
Если \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\):
\((-x-2)^2 + (y-1)^2 = 9\), то есть \((-(x+2))^2 + (y-1)^2 = 9\),
или \((x+2)^2 + (y-1)^2 = 9\) — окружность с центром \((-2; 1)\), радиус \(3\).

4) Уравнение \(([x]-2)^2 + ([y]-1)^2 = 9\), где \([x]\) — целая часть числа \(x\), \([y]\) — целая часть числа \(y\).

Это означает, что точки \((x, y)\) лежат на окружностях с центрами в целых точках \((k; m)\), где \(k, m \in \mathbb{Z}\),
удовлетворяющих \((k-2)^2 + (m-1)^2 = 9\).
Рассмотрим все целые решения:
\((k-2)^2 + (m-1)^2 = 9\)
Возможные варианты:
\((k-2, m-1) = (\pm3, 0), (0, \pm3), (\pm2, \pm1), (\pm1, \pm2)\)
Рассчитаем центры:
1) \(k-2 = 3 \rightarrow k = 5, m-1 = 0 \rightarrow m = 1\)
2) \(k-2 = -3 \rightarrow k = -1, m-1 = 0 \rightarrow m = 1\)
3) \(k-2 = 0 \rightarrow k = 2, m-1 = 3 \rightarrow m = 4\)
4) \(k-2 = 0 \rightarrow k = 2, m-1 = -3 \rightarrow m = -2\)
5) \(k-2 = 2 \rightarrow k = 4, m-1 = 1 \rightarrow m = 2\)
6) \(k-2 = 2 \rightarrow k = 4, m-1 = -1 \rightarrow m = 0\)
7) \(k-2 = -2 \rightarrow k = 0, m-1 = 1 \rightarrow m = 2\)
8) \(k-2 = -2 \rightarrow k = 0, m-1 = -1 \rightarrow m = 0\)
9) \(k-2 = 1 \rightarrow k = 3, m-1 = 2 \rightarrow m = 3\)
10) \(k-2 = 1 \rightarrow k = 3, m-1 = -2 \rightarrow m = -1\)
11) \(k-2 = -1 \rightarrow k = 1, m-1 = 2 \rightarrow m = 3\)
12) \(k-2 = -1 \rightarrow k = 1, m-1 = -2 \rightarrow m = -1\)

Собираем все уникальные центры:
\((5; 1)\), \((-1; 1)\), \((2; 4)\), \((2; -2)\), \((4; 2)\), \((4; 0)\), \((0; 2)\), \((0; 0)\), \((3; 3)\), \((3; -1)\), \((1; 3)\), \((1; -1)\)