ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 16;\)

2) \((x-1)^2 + (4y-2)^2 = 16;\)

3) \((|x|-1)^2 + (y-2)^2 = 16;\)

4) \((|x|-1)^2 + (|y|-2)^2 = 16.\)

1) Центр окружности: \( (1; 2) \), радиус: \( 4 \).

2) Центр эллипса: \( (1; \frac{1}{2}) \), полуоси: \( a = 4, b = 1 \).

3) Фигура симметрична относительно оси \( y \), центр: \( (1; 2) \) и \( (-1; 2) \), радиус: \( 4 \).

4) Фигура симметрична относительно осей \( x \) и \( y \), центры: \( (1; 2) \), \( (-1; 2) \), \( (1; -2) \), \( (-1; -2) \), радиус: \( 4 \).

1) Уравнение \( (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \) находится в канонической форме окружности \( (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = R^{2} \). Здесь легко читаются параметры: центр \( (x_{0};y_{0}) = (1;2) \), радиус \( R = 4 \), так как \( 16 = 4^{2} \).

Геометрически множество всех точек \( (x,y) \), удовлетворяющих этому уравнению, равно множеству точек, находящихся на расстоянии ровно \( 4 \) от точки \( (1;2) \). Никаких растяжений или сдвигов, кроме сдвига центра от начала координат к \( (1;2) \), здесь нет, поэтому фигура — точная окружность с равными расстояниями до центра по всем направлениям.

2) Уравнение \( (x-1)^{2} + (4y-2)^{2} = 16 \) отличается масштабированием по оси \( y \). Вынесем множитель из второго квадрата: \( (4y-2)^{2} = 16\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \). Тогда получаем эквивалентную запись \( (x-1)^{2} + 16\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} = 16 \). Разделим обе части на \( 16 \), чтобы привести к канонической форме эллипса: \( \frac{(x-1)^{2}}{16} + \left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} = 1 \). Это эллипс с центром \( \left(1;\frac{1}{2}\right) \), большой полуосью по оси \( x \) равной \( a = 4 \) (так как знаменатель под \( (x-1)^{2} \) равен \( 4^{2} \)) и малой полуосью по оси \( y \) равной \( b = 1 \) (так как знаменатель под \( \left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \) равен \( 1^{2} \)).

Геометрически это означает, что круг радиуса \( 4 \) был аффинно растянут по оси \( y \) с коэффициентом \( \frac{1}{4} \) (или, что эквивалентно, по оси \( x \) относительно центрированной формы — без изменения), вследствие чего вместо равных радиусов получились различающиеся полуоси, но симметрия относительно прямых \( x=1 \) и \( y=\frac{1}{2} \) сохраняется.

3) Уравнение \( (|x|-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \) вводит модуль по \( x \), что порождает зеркальную симметрию относительно оси \( y \). Рассмотрим два случая: при \( x \ge 0 \) имеем \( |x|=x \), и уравнение превращается в \( (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \), то есть окружность радиуса \( 4 \) с центром \( (1;2) \); при \( x < 0 \) имеем \( |x|=-x \), и тогда \( (-x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \), что эквивалентно \( (x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \), то есть окружность того же радиуса \( 4 \), но с центром \( (-1;2) \).

Обе части описывают одно и то же множество точек для соответствующих полуплоскостей, а объединение даёт фигуру, симметричную относительно оси \( y \), визуально совпадающую с двумя окружностями одинакового радиуса, сдвинутыми по \( x \) на \( \pm 1 \) и имеющими общий уровень по \( y=2 \). На самой оси \( y \) обе окружности дают согласованные точки, поэтому фигура цельно описывается указанным объединением.

4) Уравнение \( (|x|-1)^{2} + (|y|-2)^{2} = 16 \) добавляет модуль и по \( y \), создавая симметрии относительно обеих осей. Аналогично разбиваем по четвертям: при \( x \ge 0, y \ge 0 \) получаем \( (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \) (центр \( (1;2) \)); при \( x < 0, y \ge 0 \): \( (x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \) (центр \( (-1;2) \)); при \( x \ge 0, y < 0 \): \( (x-1)^{2} + (y+2)^{2} = 16 \) (центр \( (1;-2) \)); при \( x < 0, y < 0 \): \( (x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 16 \) (центр \( (-1;-2) \)).

В каждом случае радиус неизменен и равен \( 4 \), поскольку правая часть равна \( 16=4^{2} \). В совокупности фигура — объединение четырёх окружностей равного радиуса с центрами, полученными зеркальными отражениями базового центра \( (1;2) \) относительно осей координат, что отражает действие модулей: замена \( x \) на \( |x| \) дублирует фигуру влево, а замена \( y \) на \( |y| \) — вниз, сохраняя расстояния до соответствующих отражённых центров.