ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(|x| + |y| = 2;\)

2) \(|x-1| + |y| = 2;\)

3) \(|x-1| + |y+2| = 2;\)

4) \(|2x-1| + |y+2| = 2.\)

1) График уравнения \(|x| + |y| = 2\) — это ромб с вершинами в точках \((2,0)\), \((0,2)\), \((-2,0)\), \((0,-2)\).

2) График уравнения \(|x-1| + |y| = 2\) — ромб, смещённый на 1 вправо, вершины: \((3,0)\), \((1,2)\), \((-1,0)\), \((1,-2)\).

3) График уравнения \(|x-1| + |y+2| = 2\) — ромб, смещённый на 1 вправо и 2 вниз, вершины: \((3,-2)\), \((1,0)\), \((-1,-2)\), \((1,-4)\).

4) График уравнения \(|2x-1| + |y+2| = 2\) — ромб, растянутый по оси \(x\) в 2 раза, смещённый на \(\frac{1}{2}\) вправо и 2 вниз, вершины: \((\frac{3}{2},-2)\), \((\frac{1}{2},0)\), \((-\frac{1}{2},-2)\), \((\frac{1}{2},-4)\).

1) Уравнение \(|x| + |y| = 2\).
Рассмотрим все возможные варианты знаков \(x\) и \(y\):

а) \(x \geq 0, y \geq 0:\) тогда \(x + y = 2\), отрезок от \((2,0)\) до \((0,2)\).

б) \(x \geq 0, y < 0:\) тогда \(x — y = 2\), то есть \(y = x — 2\), отрезок от \((2,0)\) до \((0,-2)\).

в) \(x < 0, y \geq 0:\) тогда \(-x + y = 2\), то есть \(y = 2 + x\), отрезок от \((-2,0)\) до \((0,2)\).

г) \(x < 0, y < 0:\) тогда \(-x — y = 2\), то есть \(y = -x — 2\), отрезок от \((-2,0)\) до \((0,-2)\).

График — ромб с вершинами \((2,0)\), \((0,2)\), \((-2,0)\), \((0,-2)\).

2) Уравнение \(|x-1| + |y| = 2\).
Введём новую переменную \(u = x-1\):

а) \(u \geq 0, y \geq 0:\) \(u + y = 2\), то есть \(x + y = 3\), отрезок от \((3,0)\) до \((1,2)\).

б) \(u \geq 0, y < 0:\) \(u — y = 2\), то есть \(y = u — 2\), \(x = u + 1\), отрезок от \((3,0)\) до \((1,-2)\).

в) \(u < 0, y \geq 0:\) \(-u + y = 2\), то есть \(y = 2 + u\), \(x = u + 1\), отрезок от \((-1,0)\) до \((1,2)\).

г) \(u < 0, y < 0:\) \(-u — y = 2\), то есть \(y = -u — 2\), \(x = u + 1\), отрезок от \((-1,0)\) до \((1,-2)\).

График — ромб с вершинами \((3,0)\), \((1,2)\), \((-1,0)\), \((1,-2)\).

3) Уравнение \(|x-1| + |y+2| = 2\).
Введём \(u = x-1, v = y+2\):

а) \(u \geq 0, v \geq 0:\) \(u + v = 2\), то есть \(x + y = 1\), отрезок от \((3,-2)\) до \((1,0)\).

б) \(u \geq 0, v < 0:\) \(u — v = 2\), то есть \(v = u — 2\), \(y = v — 2\), \(x = u + 1\), отрезок от \((3,-2)\) до \((1,-4)\).

в) \(u < 0, v \geq 0:\) \(-u + v = 2\), то есть \(v = 2 + u\), \(y = v — 2\), \(x = u + 1\), отрезок от \((-1,-2)\) до \((1,0)\).

г) \(u < 0, v < 0:\) \(-u — v = 2\), то есть \(v = -u — 2\), \(y = v — 2\), \(x = u + 1\), отрезок от \((-1,-2)\) до \((1,-4)\).

График — ромб с вершинами \((3,-2)\), \((1,0)\), \((-1,-2)\), \((1,-4)\).

4) Уравнение \(|2x-1| + |y+2| = 2\).
Введём \(u = 2x-1, v = y+2\):

а) \(u \geq 0, v \geq 0:\) \(u + v = 2\), то есть \(u = 2 — v\), \(x = \frac{u+1}{2}\), \(y = v — 2\).
Для \(v=0:\) \(u=2\), \(x=\frac{3}{2}\), \(y=-2\).
Для \(u=0:\) \(v=2\), \(x=\frac{1}{2}\), \(y=0\).
Отрезок от \((\frac{3}{2},-2)\) до \((\frac{1}{2},0)\).

б) \(u \geq 0, v < 0:\) \(u — v = 2\), \(v = u — 2\), \(x = \frac{u+1}{2}\), \(y = v — 2\).
Для \(v=0:\) \(u=2\), \(x=\frac{3}{2}\), \(y=-2\).
Для \(u=0:\) \(v=-2\), \(x=\frac{1}{2}\), \(y=-4\).
Отрезок от \((\frac{3}{2},-2)\) до \((\frac{1}{2},-4)\).

в) \(u < 0, v \geq 0:\) \(-u + v = 2\), \(u = v — 2\), \(x = \frac{u+1}{2}\), \(y = v — 2\).
Для \(v=0:\) \(u=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\), \(y=-2\).
Для \(u=0:\) \(v=2\), \(x=\frac{1}{2}\), \(y=0\).
Отрезок от \((-\frac{1}{2},-2)\) до \((\frac{1}{2},0)\).

г) \(u < 0, v < 0:\) \(-u — v = 2\), \(v = -u — 2\), \(x = \frac{u+1}{2}\), \(y = v — 2\).
Для \(v=0:\) \(u=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\), \(y=-2\).
Для \(u=0:\) \(v=-2\), \(x=\frac{1}{2}\), \(y=-4\).
Отрезок от \((-\frac{1}{2},-2)\) до \((\frac{1}{2},-4)\).

График — ромб с вершинами \((\frac{3}{2},-2)\), \((\frac{1}{2},0)\), \((-\frac{1}{2},-2)\), \((\frac{1}{2},-4)\).