ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(|x| — |y| = 2;\)

2) \(|x+1| — |y| = 2;\)

3) \(|x+1| — |y-1| = 2;\)

4) \(|x+1| — |2y-1| = 2.\)

1) \(|x| — |y| = 2\)

Рассмотрим случаи:

— \(x \ge 0, y \ge 0: x — y = 2 \Rightarrow y = x — 2\)
— \(x \ge 0, y < 0: x + y = 2 \Rightarrow y = 2 — x\)
— \(x < 0, y \ge 0: -x — y = 2 \Rightarrow y = -x — 2\)
— \(x < 0, y < 0: -x + y = 2 \Rightarrow y = x + 2\)

Ответ: четыре луча, выходящих из точек \((2,0)\), \((0,-2)\), \((-2,0)\), \((0,2)\), формируя ромб.

2) \(|x+1| — |y| = 2\)

Аналогично:

— \(x+1 \ge 0, y \ge 0: x+1 — y = 2 \Rightarrow y = x — 1\)
— \(x+1 \ge 0, y < 0: x+1 + y = 2 \Rightarrow y = 1 — x\)
— \(x+1 < 0, y \ge 0: -x-1 — y = 2 \Rightarrow y = -x — 3\)
— \(x+1 < 0, y < 0: -x-1 + y = 2 \Rightarrow y = x + 3\)

Ответ: ромб, смещённый влево на 1.

3) \(|x+1| — |y-1| = 2\)

Аналогично:

— \(x+1 \ge 0, y-1 \ge 0: x+1 — (y-1) = 2 \Rightarrow y = x\)
— \(x+1 \ge 0, y-1 < 0: x+1 + (y-1) = 2 \Rightarrow y = 2 — x\)
— \(x+1 < 0, y-1 \ge 0: -x-1 — (y-1) = 2 \Rightarrow y = -x — 3\)
— \(x+1 < 0, y-1 < 0: -x-1 + (y-1) = 2 \Rightarrow y = x + 2\)

Ответ: ромб, смещённый влево на 1 и вверх на 1.

4) \(|x+1| — |2y-1| = 2\)

Рассмотрим случаи:

— \(x+1 \ge 0, 2y-1 \ge 0: x+1 — (2y-1) = 2 \Rightarrow 2y = x \Rightarrow y = \frac{x}{2}\)
— \(x+1 \ge 0, 2y-1 < 0: x+1 + (2y-1) = 2 \Rightarrow 2y = 2 — x \Rightarrow y = 1 — \frac{x}{2}\)
— \(x+1 < 0, 2y-1 \ge 0: -x-1 — (2y-1) = 2 \Rightarrow 2y = -x — 3 \Rightarrow y = -\frac{x}{2} — \frac{3}{2}\)
— \(x+1 < 0, 2y-1 < 0: -x-1 + (2y-1) = 2 \Rightarrow 2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}\)

Ответ: ромб, вытянутый по оси \(y\), смещённый влево на 1, вверх на \(\frac{1}{2}\)

1) Пусть \(|x| — |y| = 2\). Рассмотрим все возможные случаи знаков \(x\) и \(y\):

а) \(x \ge 0, y \ge 0\): тогда \(|x| = x, |y| = y\), получаем \(x — y = 2\), то есть \(y = x — 2\).

б) \(x \ge 0, y < 0\): тогда \(|x| = x, |y| = -y\), получаем \(x + y = 2\), то есть \(y = 2 — x\).

в) \(x < 0, y \ge 0\): тогда \(|x| = -x, |y| = y\), получаем \(-x — y = 2\), то есть \(y = -x — 2\).

г) \(x < 0, y < 0\): тогда \(|x| = -x, |y| = -y\), получаем \(-x + y = 2\), то есть \(y = x + 2\).

Значит, график состоит из четырёх лучей, выходящих из точек \((2,0)\), \((0,-2)\), \((-2,0)\), \((0,2)\), образующих ромб.

2) Пусть \(|x+1| — |y| = 2\). Аналогично рассмотрим все случаи:

а) \(x+1 \ge 0, y \ge 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |y| = y\), получаем \(x+1 — y = 2\), то есть \(y = x — 1\).

б) \(x+1 \ge 0, y < 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |y| = -y\), получаем \(x+1 + y = 2\), то есть \(y = 1 — x\).

в) \(x+1 < 0, y \ge 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |y| = y\), получаем \(-x-1 — y = 2\), то есть \(y = -x — 3\).

г) \(x+1 < 0, y < 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |y| = -y\), получаем \(-x-1 + y = 2\), то есть \(y = x + 3\).

График — ромб, смещённый влево на 1.

3) Пусть \(|x+1| — |y-1| = 2\). Аналогично рассмотрим все случаи:

а) \(x+1 \ge 0, y-1 \ge 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |y-1| = y-1\), получаем \(x+1 — (y-1) = 2\), то есть \(x+1 — y + 1 = 2\), \(x — y + 2 = 2\), \(x — y = 0\), \(y = x\).

б) \(x+1 \ge 0, y-1 < 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |y-1| = -(y-1)\), получаем \(x+1 + y — 1 = 2\), \(x + y = 2\), \(y = 2 — x\).

в) \(x+1 < 0, y-1 \ge 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |y-1| = y-1\), получаем \(-x-1 — (y-1) = 2\), \(-x-1 — y + 1 = 2\), \(-x — y = 2\), \(y = -x — 2\).

г) \(x+1 < 0, y-1 < 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |y-1| = -(y-1)\), получаем \(-x-1 + y — 1 = 2\), \(-x + y — 2 = 2\), \(-x + y = 4\), \(y = x + 4\).

График — ромб, смещённый влево на 1 и вверх на 1.

4) Пусть \(|x+1| — |2y-1| = 2\). Аналогично рассмотрим все случаи:

а) \(x+1 \ge 0, 2y-1 \ge 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |2y-1| = 2y-1\), получаем \(x+1 — (2y-1) = 2\), \(x+1 — 2y + 1 = 2\), \(x — 2y + 2 = 2\), \(x — 2y = 0\), \(x = 2y\), \(y = \frac{x}{2}\).

б) \(x+1 \ge 0, 2y-1 < 0\): тогда \(|x+1| = x+1, |2y-1| = -(2y-1)\), получаем \(x+1 + 2y — 1 = 2\), \(x + 2y = 2\), \(2y = 2 — x\), \(y = 1 — \frac{x}{2}\).

в) \(x+1 < 0, 2y-1 \ge 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |2y-1| = 2y-1\), получаем \(-x-1 — (2y-1) = 2\), \(-x-1 — 2y + 1 = 2\), \(-x — 2y = 2\), \(2y = -x — 2\), \(y = -\frac{x}{2} — 1\).

г) \(x+1 < 0, 2y-1 < 0\): тогда \(|x+1| = -x-1, |2y-1| = -(2y-1)\), получаем \(-x-1 + 2y — 1 = 2\), \(-x + 2y — 2 = 2\), \(-x + 2y = 4\), \(2y = x + 4\), \(y = \frac{x}{2} + 2\).

График — ромб, вытянутый по оси \(y\), смещённый влево на 1 и вверх на \(\frac{1}{2}\).