ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(y = \sqrt{4-x^2};\)

2) \(y-1 = \sqrt{4-x^2};\)

3) \(|y-1| = \sqrt{4-x^2};\)

4) \(|y|-1 = \sqrt{4-x^2};\)

5) \(y = \sqrt{2x-x^2};\)

6) \(y = \sqrt{2|x|-x^2}.\)

1) \(y = \sqrt{4-x^2}\) — это верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат: \(x^2 + y^2 = 4,\ y \geq 0\).

2) \(y-1 = \sqrt{4-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(y = 1 + \sqrt{4-x^2}\) — это верхняя полуокружность радиуса 2, сдвинутая вверх на 1: \(x^2 + (y-1)^2 = 4,\ y \geq 1\).

3) \(|y-1| = \sqrt{4-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(y-1 = \pm\sqrt{4-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(y = 1 \pm \sqrt{4-x^2}\) — это две полуокружности радиуса 2, с центром в точке (0,1): \(x^2 + (y-1)^2 = 4\).

4) \(|y|-1 = \sqrt{4-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(|y| = 1 + \sqrt{4-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(y = \pm(1 + \sqrt{4-x^2})\) — две полуокружности радиуса 2 с центрами (0,1) и (0,-1), только для \(x^2 \leq 4\).

5) \(y = \sqrt{2x-x^2}\) \(\Rightarrow\) \(y^2 = 2x-x^2\) — это верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в (1,0): \((x-1)^2 + y^2 = 1,\ y \geq 0\).

6) \(y = \sqrt{2|x|-x^2}\) — для \(x \geq 0\): \(y^2 = 2x-x^2\), для \(x < 0\): \(y^2 = -2x-x^2\). Это объединение верхних полуокружностей радиуса 1 с центрами (1,0) и (-1,0): \((x-1)^2 + y^2 = 1,\ y \geq 0\) и \((x+1)^2 + y^2 = 1,\ y \geq 0\).

1) Рассмотрим уравнение \(y = \sqrt{4-x^2}\). Подкоренное выражение определено при \(4-x^2 \geq 0\), то есть \(-2 \leq x \leq 2\). Значит, \(y \geq 0\). Возведём обе части в квадрат: \(y^2 = 4-x^2\), или \(x^2 + y^2 = 4\). Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в начале координат, но так как \(y \geq 0\), график — верхняя полуокружность.

2) \(y-1 = \sqrt{4-x^2}\). Подкоренное выражение определено при \(-2 \leq x \leq 2\), \(\sqrt{4-x^2} \geq 0\), значит \(y \geq 1\). Возведём обе части в квадрат: \((y-1)^2 = 4-x^2\), или \(x^2 + (y-1)^2 = 4\). Это окружность радиуса 2 с центром в точке (0,1), а график — верхняя полуокружность, так как \(y \geq 1\).

3) \(|y-1| = \sqrt{4-x^2}\). Подкоренное выражение определено при \(-2 \leq x \leq 2\). \(\sqrt{4-x^2} \geq 0\), значит \(|y-1| \geq 0\), то есть всегда выполняется. Получаем два случая: \(y-1 = \sqrt{4-x^2}\) и \(y-1 = -\sqrt{4-x^2}\). Тогда \(y = 1+\sqrt{4-x^2}\) и \(y = 1-\sqrt{4-x^2}\). Подставляя во второе, \(1-\sqrt{4-x^2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{4-x^2} \leq 1 \Rightarrow 4-x^2 \leq 1 \Rightarrow x^2 \geq 3\), то есть \(x \in [-2,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},2]\). В первом случае \(x \in [-2,2]\). Таким образом, график состоит из двух полуокружностей радиуса 2 с центром в (0,1): \(x^2 + (y-1)^2 = 4\).

4) \(|y|-1 = \sqrt{4-x^2}\). Область определения: \(-2 \leq x \leq 2\), \(\sqrt{4-x^2} \geq 0\), значит \(|y| \geq 1\). Тогда \(|y| = 1+\sqrt{4-x^2}\). Получаем два случая: \(y = 1+\sqrt{4-x^2}\) и \(y = -1-\sqrt{4-x^2}\). Оба случая определены при \(-2 \leq x \leq 2\). Таким образом, график состоит из двух верхних полуокружностей радиуса 2 с центрами (0,1) и (0,-1): \(x^2 + (y-1)^2 = 4,\ y \geq 1\) и \(x^2 + (y+1)^2 = 4,\ y \leq -1\).

5) \(y = \sqrt{2x-x^2}\). Подкоренное выражение определено при \(2x-x^2 \geq 0\), то есть \(x^2-2x \leq 0\), или \(0 \leq x \leq 2\). \(y \geq 0\). Возведём в квадрат: \(y^2 = 2x-x^2\), или \(x^2-2x+y^2 = 0\), что эквивалентно \((x-1)^2 + y^2 = 1\). Это окружность радиуса 1 с центром в (1,0), но график — только верхняя полуокружность (так как \(y \geq 0\)), и только для \(x \in [0,2]\).

6) \(y = \sqrt{2|x|-x^2}\). Подкоренное выражение определено при \(2|x|-x^2 \geq 0\). Для \(x \geq 0\): \(2x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [0,2]\). Для \(x < 0\): \(-2x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 2x \leq 0 \Rightarrow x \in [-2,0]\). Тогда для \(x \geq 0\): \(y^2 = 2x-x^2\), уравнение окружности \((x-1)^2 + y^2 = 1\), верхняя полуокружность. Для \(x < 0\): \(y^2 = -2x-x^2\), или \((x+1)^2 + y^2 = 1\), верхняя полуокружность. График — объединение верхних полуокружностей радиуса 1 с центрами (1,0) и (-1,0) для соответствующих промежутков x.