ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = 0;\)

2) \(\frac{x^2-1}{y^2-1} = 0;\)

3) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = 1;\)

4) \((y^2-4)(y+x) = 0;\)

5) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = -1;\)

6) \(\frac{x^2-y^2}{x^2-1} = 1;\)

7) \(\frac{x^2-y^2}{x^2-4} = 1;\)

8) \(|x|-|y| = 1;\)

9) \(|x|+|y|-2 = 1.\)

1) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = 0\)

Решение: \(y^2-1=0 \Rightarrow y=\pm1,\ x\neq\pm1\)
Ответ: две прямые \(y=1\) и \(y=-1\), кроме точек \(x=1,\ x=-1\)

2) \(\frac{x^2-1}{y^2-1} = 0\)

Решение: \(x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1,\ y\neq\pm1\)
Ответ: две прямые \(x=1\) и \(x=-1\), кроме точек \(y=1,\ y=-1\)

3) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = 1\)

Решение: \(y^2-1=x^2-1 \Rightarrow y^2=x^2 \Rightarrow y=x \vee y=-x,\ x\neq\pm1\)
Ответ: две прямые \(y=x\) и \(y=-x\), кроме точек \(x=1,\ x=-1\)

4) \((y^2-4)(y+x) = 0\)

Решение: \(y^2-4=0 \Rightarrow y=2,\ y=-2\) или \(y+x=0 \Rightarrow y=-x\)
Ответ: три прямые \(y=2,\ y=-2,\ y=-x\)

5) \(\frac{y^2-1}{x^2-1} = -1\)

Решение: \(y^2-1=-(x^2-1) \Rightarrow y^2+x^2=2\), \(x\neq\pm1\)
Ответ: окружность \(y^2+x^2=2\), кроме точек \(x=1,\ x=-1\)

6) \(\frac{x^2-y^2}{x^2-1} = 1\)

Решение: \(x^2-y^2=x^2-1 \Rightarrow -y^2=-1 \Rightarrow y^2=1\), \(x\neq\pm1\)
Ответ: две прямые \(y=1,\ y=-1\), кроме точек \(x=1,\ x=-1\)

7) \(\frac{x^2-y^2}{x^2-4} = 1\)

Решение: \(x^2-y^2=x^2-4 \Rightarrow -y^2=-4 \Rightarrow y^2=4\), \(x\neq\pm2\)
Ответ: две прямые \(y=2,\ y=-2\), кроме точек \(x=2,\ x=-2\)

8) \(|x|-|y| = 1\)

Решение: \(|x|=|y|+1\)
Ответ: четыре ветви: \(x=y+1,\ x=-(y+1), x=-(y-1), x=y-1\), при \(x\geq0,\ y\geq0;\ x\leq0,\ y\geq0;\ x\leq0,\ y\leq0;\ x\geq0,\ y\leq0\) соответственно

9) \(|x|+|y|-2=1\)

Решение: \(|x|+|y|=3\)
Ответ: ромб с вершинами \((3,0),\ (0,3),\ (-3,0),\ (0,-3)\)

1) Пусть \(\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}=0\). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть \(y^{2}-1=0\), \(x^{2}-1\neq0\). Решая, получаем \(y^{2}=1\), то есть \(y=1\) или \(y=-1\). Знаменатель не равен нулю при \(x\neq1\) и \(x\neq-1\). Ответ: две прямые \(y=1\) и \(y=-1\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

2) Пусть \(\frac{x^{2}-1}{y^{2}-1}=0\). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть \(x^{2}-1=0\), \(y^{2}-1\neq0\). Решая, получаем \(x^{2}=1\), то есть \(x=1\) или \(x=-1\). Знаменатель не равен нулю при \(y\neq1\) и \(y\neq-1\). Ответ: две прямые \(x=1\) и \(x=-1\), кроме точек \(y=1\) и \(y=-1\).

3) Пусть \(\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}=1\). Приравниваем дробь к единице: \(y^{2}-1=x^{2}-1\). Переносим все в одну сторону: \(y^{2}-x^{2}=0\), то есть \(y^{2}=x^{2}\), что эквивалентно \(y=x\) или \(y=-x\). При этом \(x^{2}-1\neq0\), то есть \(x\neq1\) и \(x\neq-1\). Ответ: две прямые \(y=x\) и \(y=-x\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

4) Пусть \((y^{2}-4)(y+x)=0\). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель: \(y^{2}-4=0\), отсюда \(y^{2}=4\), то есть \(y=2\) или \(y=-2\). Второй множитель: \(y+x=0\), отсюда \(y=-x\). Ответ: три прямые \(y=2\), \(y=-2\), \(y=-x\).

5) Пусть \(\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}=-1\). Приравниваем дробь к минус единице: \(y^{2}-1=-x^{2}+1\). Переносим всё в одну сторону: \(y^{2}-1+x^{2}-1=0\), то есть \(y^{2}+x^{2}-2=0\), или \(y^{2}+x^{2}=2\). При этом \(x^{2}-1\neq0\), то есть \(x\neq1\) и \(x\neq-1\). Ответ: окружность \(y^{2}+x^{2}=2\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

6) Пусть \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-1}=1\). Приравниваем дробь к единице: \(x^{2}-y^{2}=x^{2}-1\). Переносим всё в одну сторону: \(-y^{2}+1=0\), то есть \(y^{2}=1\). При этом \(x^{2}-1\neq0\), то есть \(x\neq1\) и \(x\neq-1\). Ответ: две прямые \(y=1\) и \(y=-1\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

7) Пусть \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-4}=1\). Приравниваем дробь к единице: \(x^{2}-y^{2}=x^{2}-4\). Переносим всё в одну сторону: \(-y^{2}+4=0\), то есть \(y^{2}=4\). При этом \(x^{2}-4\neq0\), то есть \(x\neq2\) и \(x\neq-2\). Ответ: две прямые \(y=2\) и \(y=-2\), кроме точек \(x=2\) и \(x=-2\).

8) Пусть \(|x|-|y|=1\). Значит, \(|x|=|y|+1\). Рассмотрим все варианты знаков:
Если \(x\geq0,\ y\geq0\): \(x-y=1\), то есть \(x=y+1\).
Если \(x\leq0,\ y\geq0\): \(-x-y=1\), то есть \(x=-(y+1)\).
Если \(x\leq0,\ y\leq0\): \(-x+y=1\), то есть \(x=-(y-1)\).
Если \(x\geq0,\ y\leq0\): \(x+y=1\), то есть \(x=y-1\).
Ответ: четыре ветви: \(x=y+1\) при \(x\geq0,\ y\geq0\); \(x=-(y+1)\) при \(x\leq0,\ y\geq0\); \(x=-(y-1)\) при \(x\leq0,\ y\leq0\); \(x=y-1\) при \(x\geq0,\ y\leq0\).

9) Пусть \(|x|+|y|-2=1\). Тогда \(|x|+|y|=3\). Это уравнение описывает ромб с вершинами в точках \((3,0),\ (0,3),\ (-3,0),\ (0,-3)\). Ответ: ромб с вершинами \((3,0),\ (0,3),\ (-3,0),\ (0,-3)\).