ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(\frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2} = 0;\)

2) \(|x|+|y|-1 = 0;\)

3) \(1-x^2-y^2 = 0;\)

4) \(\frac{y^2-1}{y-x} = 0;\)

5) \(\frac{y^2+y}{x^2-4} = 1;\)

6) \(y-x = 1.\)

1) \(\frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2}=0 \Rightarrow x^2+y^2-1=0,\, x^2-y^2 \neq 0\).
Решение: Окружность \(x^2+y^2=1\), кроме точек \(x^2-y^2=0 \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y\).
Ответ: Окружность без точек пересечения с прямыми \(x=y\) и \(x=-y\).

2) \(|x|+|y|-1=0 \Rightarrow |x|+|y|=1\).
Решение: Ромб с вершинами \((1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)\).
Ответ: Ромб.

3) \(1-x^2-y^2=0 \Rightarrow x^2+y^2=1\).
Решение: Окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Ответ: Окружность.

4) \(\frac{y^2-1}{y-x}=0 \Rightarrow y^2-1=0,\, y-x \neq 0\).
Решение: \(y^2=1 \Rightarrow y=1\) или \(y=-1\), кроме \(y=x\).
Ответ: Прямые \(y=1\) и \(y=-1\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

5) \(\frac{y^2+y}{x^2-4}=1 \Rightarrow y^2+y=x^2-4\).
Решение: \(y^2+y-x^2+4=0\), гипербола, при \(x^2 \neq 4\).
Ответ: Гипербола \(y^2+y-x^2+4=0\), кроме \(x=2\) и \(x=-2\).

6) \(y-x=1 \Rightarrow y=x+1\).
Решение: Прямая.
Ответ: Прямая \(y=x+1\).

1) Пусть \(\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}-y^{2}}=0\). Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем: \(x^{2}+y^{2}-1=0\), \(x^{2}-y^{2} \neq 0\). Первое уравнение — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Второе условие означает, что нельзя брать точки, где \(x^{2}=y^{2}\), то есть \(x=y\) и \(x=-y\). Ответ: окружность \(x^{2}+y^{2}=1\) без точек пересечения с прямыми \(x=y\) и \(x=-y\).

2) Пусть \(|x|+|y|-1=0\). Переносим 1 вправо: \(|x|+|y|=1\). Это уравнение описывает геометрическое место точек, удалённых от начала координат так, что сумма модулей координат равна 1. Это ромб с вершинами в точках \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Ответ: ромб.

3) Пусть \(1-x^{2}-y^{2}=0\). Переносим всё кроме нуля в одну сторону: \(x^{2}+y^{2}=1\). Это стандартное уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Ответ: окружность.

4) Пусть \(\frac{y^{2}-1}{y-x}=0\). Для равенства дроби нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем: \(y^{2}-1=0\), \(y-x \neq 0\). Решая первое уравнение, получаем \(y=1\) или \(y=-1\). Второе условие означает, что нельзя брать точки, где \(y=x\). Ответ: две прямые \(y=1\) и \(y=-1\), кроме точек \(x=1\) и \(x=-1\).

5) Пусть \(\frac{y^{2}+y}{x^{2}-4}=1\). Переносим 1 влево: \(\frac{y^{2}+y}{x^{2}-4}-1=0\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{y^{2}+y-(x^{2}-4)}{x^{2}-4}=0\). Числитель: \(y^{2}+y-x^{2}+4=0\), знаменатель: \(x^{2}-4 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\). Ответ: гипербола \(y^{2}+y-x^{2}+4=0\), кроме точек \(x=2\) и \(x=-2\).

6) Пусть \(y-x=1\). Это уравнение прямой, проходящей через все точки, где разность ординаты и абсциссы равна 1. Ответ: прямая \(y=x+1\).