ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите количество корней уравнения \((x^2+a^2-1)(a-x) = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\).

Рассмотрим уравнение: \((x^2+a^2-1)(a-x)=0\).

1. Первый множитель: \(x^2 + a^2 — 1 = 0\), то есть \(x^2 = 1 — a^2\).
Корни есть, если \(1 — a^2 \geq 0\), то есть \(|a| \leq 1\).
Тогда \(x_1 = \sqrt{1-a^2}\), \(x_2 = -\sqrt{1-a^2}\).

2. Второй множитель: \(a — x = 0\), то есть \(x = a\).

Корни совпадают, если \(a = \sqrt{1-a^2}\) или \(a = -\sqrt{1-a^2}\).

Рассмотрим систему \(a = \sqrt{1-a^2}\)

Ответ:

если \(|a| > 1\), то один корень;

если \(|a| = 1\) или \(|a| = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то два корня;

если \(|a| < 1\) и \(|a| \neq \frac{\sqrt{2}}{2}\), то три корня.

1) Первое уравнение: \(x^{2} + a^{2} — 1 = 0\).
Отсюда \(x^{2} = 1 — a^{2}\).
Корни существуют, если \(1 — a^{2} \geq 0\), то есть \(|a| \leq 1\).
Тогда \(x_{1} = \sqrt{1 — a^{2}}\), \(x_{2} = -\sqrt{1 — a^{2}}\).

2) Второе уравнение: \(a — x = 0\), то есть \(x = a\).

3) Найдём, когда корни совпадают, то есть когда \(x = a\) совпадает с корнями первого уравнения.
Рассмотрим \(a = \sqrt{1 — a^{2}}\):
\(a^{2} = 1 — a^{2}\)
\(2a^{2} = 1\)
\(a^{2} = \frac{1}{2}\)
\(a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

4) Теперь рассмотрим количество корней:

Если \(|a| > 1\), уравнение \(x^{2} = 1 — a^{2}\) не имеет решений, остаётся только \(x = a\), то есть один корень.

Если \(|a| = 1\), тогда \(x^{2} = 0\), единственный корень \(x = 0\), и второй корень \(x = a\), если \(a \neq 0\), то корни разные, если \(a = 0\), то корень один (совпадают).

Если \(|a| = \frac{\sqrt{2}}{2}\), тогда \(x_{1} = a\), \(x_{2} = -a\), и есть ещё \(x = a\), но он совпадает с \(x_{1}\), всего два корня.

Если \(|a| < 1\) и \(|a| \neq \frac{\sqrt{2}}{2}\), тогда \(x_{1} \neq a\), \(x_{2} \neq a\), и \(x = a\) — все три корня различны.

Ответ:

если \(|a| > 1\), то один корень;

если \(|a| = 1\) или \(|a| = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то два корня;

если \(|a| < 1\) и \(|a| \neq \frac{\sqrt{2}}{2}\), то три корня.