ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(x^2 — 6x + y^2 + 4y + 13 = 0;\)
2) \(x^2 + 2xy + 10y^2 — 12y + 4 = 0;\)
3) \(\sqrt{x-1} = \sqrt{-y^2(y+1)^2};\)
4) \(x^2 + \sqrt{y^2+1} = 1.\)

1) \(x^2-6x+y^2+4y+13=0;\) \((x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=0;\) \((x-3)^2+(y+2)^2=0;\)
Первое уравнение: \(x-3=0;\) \(x=3;\)
Второе уравнение: \(y+2=0;\) \(y=-2;\)
Ответ: \((3;-2)\).

2) \(x^2+2xy+10y^2-12y+4=0;\) \((x^2+2xy+y^2)+(9y^2-12y+4)=0;\) \((x+y)^2+(3y-2)^2=0;\)
Первое уравнение: \(3y-2=0;\) \(3y=2;\) \(y=\frac{2}{3};\)
Второе уравнение: \(x=-\frac{2}{3};\)
Ответ: \((-\frac{2}{3};\frac{2}{3})\).

3) \(\sqrt{x-1}=\sqrt{-y^2(y+1)^2};\)
Выполняется неравенство: \(-y^2(y+1)^2\leq0;\) \(\sqrt{-y^2(y+1)^2}=0;\)
Первое уравнение: \(-y^2(y+1)^2=0;\) \((y+1)y=0;\)
\(y_1=-1,~y_2=0;\)
Второе уравнение: \(x-1=0;\) \(x=1;\)
Ответ: \((1;-1);\) \((1;0)\).

4) \(x^2+\sqrt{y^2+1}=1;\) \(\sqrt{y^2+1}=1-x^2;\)
Выполняются неравенства: \(1-x^2\leq1,~y^2+1\geq1;\)
Первое уравнение: \(1-x^2=1;\) \(x^2=0;\) \(x=0;\)
Второе уравнение: \(y^2+1=1;\) \(y^2=0;\) \(y=0;\)
Ответ: \((0;0)\).

Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 — 6x + y^2 + 4y + 13 = 0\). Для упрощения этого выражения удобно сгруппировать члены, содержащие \(x\) и \(y\), и привести их к полному квадрату. Начнем с \(x\): \(x^2 — 6x\). К этому выражению добавим и вычтем 9, чтобы получить полный квадрат: \(x^2 — 6x + 9 — 9\). Теперь \(x^2 — 6x + 9 = (x-3)^2\), а оставшийся \(-9\) учтем позже. Аналогично, для \(y\): \(y^2 + 4y\). К этому выражению добавим и вычтем 4: \(y^2 + 4y + 4 — 4\). Теперь \(y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2\), а оставшийся \(-4\) также учтем. Подставим эти преобразования в исходное уравнение: \((x-3)^2 — 9 + (y+2)^2 — 4 + 13 = 0\). Преобразуем константы: \(-9 — 4 + 13 = 0\), то есть сумма равна нулю. Получаем окончательно: \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 0\).

Рассмотрим, при каких условиях сумма квадратов равна нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому для выполнения равенства оба квадрата должны быть равны нулю одновременно. То есть, \(x-3 = 0\) и \(y+2 = 0\). Решая первое уравнение, получаем \(x = 3\). Решая второе уравнение, получаем \(y = -2\). Таким образом, единственная точка, удовлетворяющая исходному уравнению, это \((3; -2)\). В данном случае решение единственное, так как сумма квадратов обращается в ноль только при нулевых слагаемых.

Переходим ко второму уравнению: \(x^2 + 2xy + 10y^2 — 12y + 4 = 0\). Для упрощения сгруппируем члены, содержащие \(x\) и \(y\). Заметим, что \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\), а остальные члены \(10y^2 — 12y + 4\) можно переписать как \(9y^2 — 12y + 4 + y^2\). Тогда \(9y^2 — 12y + 4 = (3y-2)^2\), поскольку \((3y-2)^2 = 9y^2 — 12y + 4\). Подставим преобразованные выражения: \((x+y)^2 + (3y-2)^2 = 0\). Как и в первом случае, сумма квадратов равна нулю только когда оба выражения равны нулю. Получаем систему: \(x+y = 0\) и \(3y-2 = 0\). Из второго уравнения \(3y = 2\), \(y = \frac{2}{3}\). Подставляем это значение во второе уравнение: \(x + \frac{2}{3} = 0\), \(x = -\frac{2}{3}\). Таким образом, решение системы — точка \(\left(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)\).

Рассмотрим третье уравнение: \(\sqrt{x-1} = \sqrt{-y^2(y+1)^2}\). Чтобы корень из выражения был определён, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \(-y^2(y+1)^2 \geq 0\). Заметим, что \(y^2(y+1)^2\) всегда неотрицательно, а минус перед ним делает выражение не больше нуля: \(-y^2(y+1)^2 \leq 0\). Корень из неотрицательного числа равен нулю только в том случае, если само выражение равно нулю: \(-y^2(y+1)^2 = 0\), то есть \(y^2(y+1)^2 = 0\). Это возможно при \(y = 0\) или \(y + 1 = 0\), то есть \(y = -1\). Подставим эти значения в первое уравнение: \(x — 1 = 0\), \(x = 1\). Получаем два решения: \((1; -1)\) и \((1; 0)\). Заметим, что оба значения \(y\) удовлетворяют исходному неравенству, поскольку выражение под корнем неотрицательно только в этих случаях.

Рассмотрим четвертое уравнение: \(x^2 + \sqrt{y^2 + 1} = 1\). Переносим \(x^2\) в правую часть: \(\sqrt{y^2 + 1} = 1 — x^2\). Для того чтобы корень был определён, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(y^2 + 1 \geq 0\) — это всегда верно для любых действительных \(y\). Кроме того, \(1 — x^2\) должно быть неотрицательным, иначе корень не существует: \(1 — x^2 \geq 0\), то есть \(x^2 \leq 1\). Теперь рассмотрим, при каких значениях равенство выполняется. Решаем первое уравнение: \(1 — x^2 = \sqrt{y^2 + 1}\). Заметим, что максимальное значение \(\sqrt{y^2 + 1}\) при \(y = 0\) равно 1. Тогда \(1 — x^2 = 1\), \(x^2 = 0\), \(x = 0\). Подставляем \(x = 0\) обратно: \(\sqrt{y^2 + 1} = 1\), \(y^2 + 1 = 1\), \(y^2 = 0\), \(y = 0\). Таким образом, единственное решение — \((0; 0)\). Все остальные значения \(x\) и \(y\) не удовлетворяют исходному уравнению, так как либо выражение под корнем становится отрицательным, либо сумма не равна единице.