ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите количество корней уравнения \((4-x^2-a^2)(3a-x^2) = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\).

Если \(a < -2\), решений \(\emptyset\);

если \(a = -2\), один корень;

если \(-2 < a < 0\), или \(a = 1\), или \(a > 2\), два корня;

если \(a = 0\) или \(a = 2\), три корня;

если \(0 < a < 2\) и \(a \neq 1\), четыре корня.

Рассмотрим уравнение \((4 — x^{2} — a^{2})(3a — x^{2}) = 0\). Оно равносильно системе двух уравнений: первое — \(4 — x^{2} — a^{2} = 0\), второе — \(3a — x^{2} = 0\). Решения исходного уравнения — это объединение решений каждого из этих уравнений по отдельности.

Первое уравнение: \(4 — x^{2} — a^{2} = 0\), отсюда \(x^{2} = 4 — a^{2}\). Корни будут действительными только при \(4 — a^{2} \geq 0\), то есть \( -2 \leq a \leq 2 \). Для каждого допустимого \(a\) получаем два значения \(x\): \(x = \sqrt{4 — a^{2}}\) и \(x = -\sqrt{4 — a^{2}}\). Если \(a = \pm2\), тогда \(x = 0\) — один корень, если \(-2 < a < 2\), тогда два корня. Второе уравнение: \(3a - x^{2} = 0\), отсюда \(x^{2} = 3a\). Корни действительные только при \(a \geq 0\). Тогда \(x = \sqrt{3a}\) и \(x = -\sqrt{3a}\). Если \(a = 0\), то \(x = 0\) — один корень, если \(a > 0\), то два корня.

Теперь находим количество различных корней, учитывая пересечения. Решения совпадают, если \(x^{2} = 4 — a^{2}\) и \(x^{2} = 3a\), то есть \(4 — a^{2} = 3a\), или \(a^{2} + 3a — 4 = 0\). Находим корни: \(a_{1} = -2\), \(a_{2} = 1\). В этих точках пересечения корни совпадают, поэтому число решений уменьшается на один. Если \(a < -2\), ни одно из уравнений не имеет решений, поэтому ответ — \(\emptyset\). Если \(a = -2\), только один корень. Если \(-2 < a < 0\), из первого уравнения два корня, из второго — нет, итого два корня. Если \(a = 0\), оба уравнения дают по одному корню, но оба совпадают в \(x = 0\), поэтому три корня. Если \(0 < a < 2\) и \(a \neq 1\), оба уравнения дают по два корня, но в случае \(a = 1\) один из корней совпадает, поэтому для \(a = 1\) два корня, для остальных — четыре. Если \(a = 2\), из первого уравнения один корень, из второго — два, один из них совпадает, итого три корня. Если \(a > 2\), только второе уравнение дает два корня.