ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(ax-1 = \sqrt{8x-x^2-15}\) имеет единственное решение?

Для уравнения \(ax-1 = \sqrt{8x-x^2-15}\) единственное решение будет при \(a\) в диапазоне:

\(\frac{1}{5} \leq a < \frac{1}{3}\) и \(a = \frac{8}{15}\) Краткое объяснение: 1. Область определения: \(8x-x^2-15 \geq 0\), то есть \(x^2-8x+15 \leq 0\) или \(3 \leq x \leq 5\). 2. Прямая \(y = ax\) касается окружности \((x-4)^2 + (y-1)^2 = 1\), что даёт условие касания: \(32a-60a^2=0\). 3. Решая это, получаем \(a=0\) и \(a=\frac{8}{15}\), но единственное решение на промежутке даёт диапазон \(\frac{1}{5} \leq a < \frac{1}{3}\) и отдельно \(a = \frac{8}{15}\).

1) Первое уравнение: \(y — 1 = \sqrt{8x — x^2 — 15}\), \(y — 1 \geq 0\).

Преобразуем: \((y — 1)^2 = 8x — x^2 — 15\).

Переносим всё в одну сторону: \(x^2 — 8x + 16 + (y — 1)^2 = 1\).

Это уравнение окружности: \((x — 4)^2 + (y — 1)^2 = 1\), при условии \(y \geq 1\).

2) Второе уравнение: \(y = ax\).

3) Подставляем \(y = ax\) в уравнение окружности:

\((x — 4)^2 + (ax — 1)^2 = 1\)

\(x^2 — 8x + 16 + a^2x^2 — 2ax + 1 = 1\)

\(x^2 — 8x + 16 + a^2x^2 — 2ax = 0\)

\((a^2 + 1)x^2 — (2a + 8)x + 16 = 0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\).

4) Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю (касание):

\(D = (2a + 8)^2 — 4(a^2 + 1) \cdot 16\)

\(D = 4a^2 + 32a + 64 — 64a^2 — 64\)

\(D = 32a — 60a^2\)

5) Находим значения \(a\), при которых дискриминант равен нулю:

\(32a — 60a^2 = 0\)

\(4a(8 — 15a) = 0\)

\(a_1 = 0\), \(a_2 = \frac{8}{15}\)

6) Для единственного решения нужно, чтобы прямая касалась окружности только в одной точке, и эта точка лежит в области определения:

Область определения: \(8x — x^2 — 15 \geq 0\), то есть \(x^2 — 8x + 15 \leq 0\), корни: \(x = 3\) и \(x = 5\), значит \(3 \leq x \leq 5\).

7) Для остальных значений \(a\) прямая пересекает окружность в двух точках. Чтобы было единственное решение, необходимо, чтобы одна из точек касания совпадала с границей области определения.

8) Проверяем для \(a\), когда прямая проходит через точку \(x = 3\) или \(x = 5\):

Подставляем \(x = 3\) и \(x = 5\) в уравнение окружности и прямой, находим соответствующие значения \(a\):

Для \(x = 3\):

\(y = a \cdot 3\)

\((3 — 4)^2 + (3a — 1)^2 = 1\)

\(1 + (3a — 1)^2 = 1\)

\((3a — 1)^2 = 0\)

\(3a = 1\)

\(a = \frac{1}{3}\)

Для \(x = 5\):

\(y = a \cdot 5\)

\((5 — 4)^2 + (5a — 1)^2 = 1\)

\(1 + (5a — 1)^2 = 1\)

\((5a — 1)^2 = 0\)

\(5a = 1\)

\(a = \frac{1}{5}\)

9) Таким образом, единственное решение будет при:

\(\frac{1}{5} \leq a < \frac{1}{3}\), а также при \(a = \frac{8}{15}\) 10) Ответ: \(\frac{1}{5} \leq a < \frac{1}{3}\), \(a = \frac{8}{15}\)