ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения \((x^4+1)(y^4+1) = 4x^2y^2.\)

Область определения: \(5 — x^{2} — 6x \geq 0\), значит \(x^{2} + 6x — 5 \leq 0\), корни: \(x = -3 \pm \sqrt{14}\).

Пусть \(y = a x\), тогда \(y + \sqrt{5 — x^{2} — 6x} = 2\), значит \(\sqrt{5 — x^{2} — 6x} = 2 — y\), \(y \leq 2\).

Возводим в квадрат: \((2 — y)^{2} = 5 — x^{2} — 6x\), получаем \(y^{2} — 4y + x^{2} + 6x — 1 = 0\), подставляем \(y = a x\): \((a^{2} + 1)x^{2} + (6 — 4a)x — 1 = 0\).

Для двух корней: \( -\frac{2}{5} \leq a < 0 \).

1. Найдём область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(5 — x^{2} — 6x \geq 0\). Переносим всё влево: \(x^{2} + 6x — 5 \leq 0\).

2. Решим квадратное неравенство: найдём корни уравнения \(x^{2} + 6x — 5 = 0\). По формуле корней: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}\). Значит, \(x\) принадлежит промежутку \( -3 — \sqrt{14} \leq x \leq -3 + \sqrt{14}\).

3. Перепишем исходное уравнение: \(a x + \sqrt{5 — x^{2} — 6x} = 2\). Выразим корень: \(\sqrt{5 — x^{2} — 6x} = 2 — a x\).

4. Так как корень неотрицателен, \(2 — a x \geq 0\), то есть \(a x \leq 2\).

5. Возведём обе части в квадрат: \(5 — x^{2} — 6x = (2 — a x)^{2}\).

6. Раскроем скобки: \(5 — x^{2} — 6x = 4 — 4a x + a^{2} x^{2}\).

7. Перенесём всё в одну сторону: \(5 — x^{2} — 6x — 4 + 4a x — a^{2} x^{2} = 0\), упрощаем: \(1 — x^{2} — 6x + 4a x — a^{2} x^{2} = 0\).

8. Перепишем по степеням: \((1 — a^{2})x^{2} + (4a — 6)x + 1 = 0\).

9. Это квадратное уравнение относительно \(x\). Чтобы уравнение имело два корня, необходимо чтобы прямая \(y = a x\) пересекала окружность ровно в двух точках. По рисунку и условиям задачи, это возможно при \( -\frac{2}{5} \leq a < 0 \).

10. Ответ: \( -\frac{2}{5} \leq a < 0 \)