ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения \((x^4+1)(y^4+1) = 4x^2y^2.\)

Рассмотрим уравнение: \((x^4+1)(y^4+1) = 4x^2y^2\).

Перенесём всё в одну сторону: \((x^4+1)(y^4+1) — 4x^2y^2 = 0\).

Раскроем скобки: \(x^4y^4 + x^4 + y^4 + 1 — 4x^2y^2 = 0\).

Группируем: \(x^4y^4 — 4x^2y^2 + x^4 + y^4 + 1 = 0\).

Введём замену: \(u = x^2\), \(v = y^2\):

\(u^2v^2 — 4uv + u^2 + v^2 + 1 = 0\).

Пусть \(u = 1\), тогда \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1\):

\(v^2 — 4v + 1 + v^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2v^2 — 4v + 2 = 0\).

\(v^2 — 2v + 1 = 0 \Rightarrow (v-1)^2 = 0 \Rightarrow v = 1\), значит, \(y = \pm1\).

Аналогично, если \(v = 1\), \(x = \pm1\).

Ответ: уравнение имеет решения в точках \((1,1)\), \((1,-1)\), \((-1,1)\), \((-1,-1)\). График — четыре точки.

1) Выполним преобразование неравенства:
Рассмотрим выражение \((t^4 — 1)^2 \geq 0\).
Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит неравенство выполняется для всех \(t\).
Рассмотрим выражение \(t^4 — 2t^2 + 1 \geq 0\).
Преобразуем: \(t^4 — 2t^2 + 1 = (t^2 — 1)^2 \geq 0\), значит неравенство выполняется для всех \(t\).
Рассмотрим выражение \(t^4 + 1 \geq 2t^2\).
Преобразуем: \(t^4 — 2t^2 + 1 \geq 0\), что эквивалентно предыдущему случаю, значит неравенство выполняется для всех \(t\).

2) Следовательно, верно:
\((x^4 + 1) \cdot (y^4 + 1) \geq 2x^2 \cdot 2y^2\),
то есть \((x^4 + 1)(y^4 + 1) \geq 4x^2y^2\).

3) Равенство достигается в точках:
Рассмотрим уравнение \((x^4 + 1)(y^4 + 1) = 4x^2y^2\).
Перенесём всё в одну сторону: \((x^4 + 1)(y^4 + 1) — 4x^2y^2 = 0\).
Раскроем скобки: \(x^4y^4 + x^4 + y^4 + 1 — 4x^2y^2 = 0\).
Группируем: \(x^4y^4 — 4x^2y^2 + x^4 + y^4 + 1 = 0\).
Пусть \(x^4 = 1\), тогда \(x = 1\) или \(x = -1\).
Пусть \(y^4 = 1\), тогда \(y = 1\) или \(y = -1\).
Значит, равенство достигается в точках:
\(x = 1, y = 1\);
\(x = 1, y = -1\);
\(x = -1, y = 1\);
\(x = -1, y = -1\).

4) График уравнения:
На координатной плоскости отмечаем точки:
\((1, 1)\), \((1, -1)\), \((-1, 1)\), \((-1, -1)\).
Получаем четыре точки, расположенные симметрично относительно начала координат.