ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения \((x^2-2x+2)(y^2+4y+6) = 2.\)

Рассмотрим уравнение \((x^2-2x+2)(y^2+4y+6)=2\).

Заметим, что для любого \(x\) выполнено \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1\), а для любого \(y\) выполнено \(y^2+4y+6=(y+2)^2+2\ge 2\).

Произведение неравенств даёт \((x^2-2x+2)(y^2+4y+6)\ge 1\cdot 2=2\). Равенство достигается только при \((x-1)^2=0\) и \((y+2)^2=0\), то есть \(x=1\), \(y=-2\).

Следовательно, график уравнения — единственная точка \((1,-2)\).

1) Ветви парабол направлены вверх:
Коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) положительные, то есть \(1 > 0\).

2) Координаты вершины первой параболы:
Вершина параболы \(x^2-2x+2\) находится по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\):
\(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\)
Подставим \(x_0\) в выражение:
\(f(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1\)

3) Координаты вершины второй параболы:
Вершина параболы \(y^2+4y+6\):
\(y_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\)
Подставим \(y_0\) в выражение:
\(g(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 6 = 4 — 8 + 6 = 2\)

4) Значит верно следующее:
\(x^2 — 2x + 2 \geq 1\)
\(y^2 + 4y + 6 \geq 2\)
\((x^2 — 2x + 2)(y^2 + 4y + 6) \geq 2\)

5) Равенство достигается в точке:
\(\begin{cases} x^2 — 2x + 2 = 1 \\ y^2 + 4y + 6 = 2 \end{cases}\)
Решим первое уравнение:
\(x^2 — 2x + 2 = 1\)
\(x^2 — 2x + 1 = 0\)
\((x — 1)^2 = 0\)
\(x = 1\)
Решим второе уравнение:
\(y^2 + 4y + 6 = 2\)
\(y^2 + 4y + 4 = 0\)
\((y + 2)^2 = 0\)
\(y = -2\)

6) График уравнения:
На координатной плоскости отмечается точка \((1, -2)\).