ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения \(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=2-x^2-y^2.\)

Условие существования корней: \(-1 \leq x \leq 1\), \(-1 \leq y \leq 1\).
Подставим \(x\) и \(y\) из \(-1, 0, 1\):

Для \(x=0\):
\(\sqrt{1-0^2}+\sqrt{1-y^2}=2-y^2\)
\(\sqrt{1-y^2}=1-y^2\)
\(1-y^2 \geq 0\) и \(y^2=0,1\), значит \(y=0,\pm1\)

Для \(y=0\):
\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-0^2}=2-x^2\)
\(\sqrt{1-x^2}=1-x^2\)
\(1-x^2 \geq 0\) и \(x^2=0,1\), значит \(x=0,\pm1\)

Для \(x=\pm1\), \(y=\pm1\):
\(\sqrt{1-1^2}+\sqrt{1-1^2}=0+0=0\)
\(2-1-1=0\) — подходит

В результате решения:
Точки пересечения:
\((0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)\)

Рассмотрим уравнение \(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=2-x^{2}-y^{2}\). Для существования выражения под корнем необходимо, чтобы \(1-x^{2} \geq 0\) и \(1-y^{2} \geq 0\), то есть \(x\) и \(y\) должны лежать в промежутке от \(-1\) до \(1\) включительно. Это ограничение сразу задаёт область допустимых значений переменных: \(x \in [-1;1]\), \(y \in [-1;1]\).

Рассмотрим сначала \(x=0\). Тогда уравнение принимает вид \(\sqrt{1-0}+\sqrt{1-y^{2}}=2-y^{2}\), то есть \(1+\sqrt{1-y^{2}}=2-y^{2}\). Перенесём единицу: \(\sqrt{1-y^{2}}=1-y^{2}\). Заметим, что \(\sqrt{1-y^{2}}\) неотрицательно, и \(1-y^{2}\) также должно быть неотрицательным. Решим это уравнение: если \(y=0\), то \(\sqrt{1-0}=1\), \(1-0=1\) — подходит; если \(y=1\) или \(y=-1\), то \(\sqrt{1-1}=0\), \(1-1=0\) — подходит. Значит, для \(x=0\) решения: \(y=0,1,-1\).

Аналогично рассмотрим \(y=0\): \(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-0}=2-x^{2}\), то есть \(\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}\), отсюда \(\sqrt{1-x^{2}}=1-x^{2}\). Аналогично предыдущему случаю, решения будут при \(x=0,1,-1\).

Теперь рассмотрим крайние значения \(x=1\) и \(x=-1\), а также \(y=1\) и \(y=-1\). В этих случаях \(\sqrt{1-1}=0\), и уравнение превращается в \(0+\sqrt{1-y^{2}}=2-1-y^{2}=1-y^{2}\), то есть \(\sqrt{1-y^{2}}=1-y^{2}\), что снова даёт решения при \(y=0,1,-1\). Аналогично для \(y=1\) и \(y=-1\).

В итоге, все возможные комбинации значений \(x\) и \(y\) из множества \(\{-1,0,1\}\) удовлетворяют уравнению. Ответ представлен в виде набора точек:
\((0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)\).