ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(|x|+|y|\), если \(x^2+(y-4)^2=1.\)

1) Дано уравнение окружности: \(x_0 = 0, y_0 = 4, R = 1\)
2) Пусть \(a = |x| + |y|\), тогда \(|y| = a — |x|\)
3) Подставляя в уравнение окружности, получаем \(x^2 + (a — |x|)^2 = 1\)
4) Найдя минимальное значение \(a\), при котором данное уравнение имеет решение, получаем \(a = 3\).

Ответ: \(a = 3\)

Рассмотрим окружность с уравнением \(x^{2}+(y-4)^{2}=1\). Это окружность центра \((0,4)\) и радиуса \(1\). Нам нужно найти минимальное значение выражения \(|x|+|y|\) по точкам этой окружности. Геометрически \(|x|+|y|\) есть расстояние точки \((x,y)\) до начала координат в метрике \(L_{1}\). Уровни этого расстояния — ромбы \(|x|+|y|=a\) с центром в начале координат и вершинами на осях в точках \((\pm a,0)\) и \((0,\pm a)\). Задача сводится к нахождению наименьшего \(a\), при котором ромб \(|x|+|y|=a\) касается или пересекает окружность \(x^{2}+(y-4)^{2}=1\).

Рассмотрим касание по лучшему направлению: нижняя вершина ромба находится на оси \(y\) в точке \((0,-a)\), верхняя — \((0,a)\). Поскольку окружность на \(y\)-оси имеет точки \((0,3)\) и \((0,5)\), минимальное пересечение произойдет сверху, когда верхняя вершина ромба достигнет точки \((0,3)\). Тогда требуется \(a\ge 3\). Проверим, что при \(a=3\) действительно есть касание: подставим \(x=0\) и \(y=3\) в окружность, получаем \(0^{2}+(3-4)^{2}=1\), верно. Следовательно, ромб \(|x|+|y|=3\) касается окружности в точке \((0,3)\), и для меньших \(a\) ромб не достигает окружности, потому что вся окружность лежит выше \(y=3\), а минимальное значение \(y\) на окружности равно \(3\).

Альтернативно можно оформить через параметризацию окружности: \(x=\cos t\), \(y=4+\sin t\) для \(t\in[0,2\pi)\). Тогда выражение \(|x|+|y|=|\cos t|+|4+\sin t|\). Поскольку \(4+\sin t\ge 3\), модуль от второй части снимается, и минимум достигается при наименьшем \(|\cos t|\), то есть при \(\cos t=0\). Тогда \(|\cos t|=0\) и \(|4+\sin t|=|4\pm 1|=\min(3,5)=3\). Следовательно, минимальное значение равно \(3\). Таким образом, искомый минимум \(|x|+|y|\) на окружности \(x^{2}+(y-4)^{2}=1\) равен \(3\).