ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(x^2 = y^2;\)

2) \(x^2 = 4;\)

3) \((x+2)(y-3) = 0;\)

4) \(y^2 + 6xy = 0;\)

5) \(xy — 3x + y = 3;\)

6) \(y^2 — 5xy + 4x^2 = 0.\)

1) Уравнение \(x^{2} = y^{2}\) можно переписать как \(x^{2} — y^{2} = 0\). Применяя формулу разности квадратов, получаем \((x — y)(x + y) = 0\), отсюда следует, что либо \(x — y = 0\), либо \(x + y = 0\). Это означает, что решениями уравнения являются две прямые: одна — \(x = y\), другая — \(x = -y\). Первая прямая проходит через начало координат и все точки, где значения \(x\) и \(y\) равны. Вторая прямая также проходит через начало координат, но значения \(x\) и \(y\) противоположны по знаку. Графически это две пересекающиеся в начале координат прямые под углом 90° друг к другу.

2) Уравнение \(x^{2} = 4\) не зависит от \(y\), поэтому для любого значения \(y\) оно выполняется только при \(x = 2\) или \(x = -2\). Это значит, что график состоит из двух вертикальных прямых: одна располагается на линии \(x = 2\), другая — на линии \(x = -2\). Для этих значений \(x\) любая точка с произвольным \(y\) удовлетворяет уравнению, поэтому график — две бесконечно длинные вертикальные линии, параллельные оси \(y\).

3) Уравнение \((x+2)(y-3) = 0\) равняется нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель \(x+2 = 0\) при \(x = -2\), а второй \(y-3 = 0\) при \(y = 3\). Значит, график состоит из двух прямых: вертикальной \(x = -2\) и горизонтальной \(y = 3\). Эти прямые пересекаются в точке \((-2, 3)\), а все остальные точки на этих линиях также являются решениями уравнения. Таким образом, график — это две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

4) Уравнение \(y^{2} + 6xy = 0\) можно разложить по формуле выноса общего множителя: \(y(y + 6x) = 0\). Это означает, что либо \(y = 0\), либо \(y + 6x = 0\), то есть \(y = -6x\). Первая прямая \(y = 0\) совпадает с осью \(x\), а вторая — наклонная прямая, проходящая через начало координат с углом наклона, равным \(-6\). Таким образом, график состоит из двух прямых: одна горизонтальная и одна наклонная, пересекающихся в начале координат.

5) Уравнение \(xy — 3x + y = 3\) сначала преобразуем: перенесём все члены в одну часть, получим \(xy — 3x + y — 3 = 0\). Группируем слагаемые: \(y(x + 1) — 3(x + 1) = 0\). Теперь вынесем общий множитель \((x + 1)\): \(y(x + 1) = 3(x + 1)\). Если \(x \neq -1\), можно разделить обе части на \((x + 1)\), получим \(y = \frac{3(x+1)}{x+1} = 3\). Но при \(x = -1\) исходное выражение обращается в \(0\), а \(y\) не определён (деление на ноль). Поэтому график — это прямая \(y = 3\) для всех \(x \neq -1\), а при \(x = -1\) решений нет, то есть в этой точке график имеет разрыв.

6) Уравнение \(y^{2} — 5xy + 4x^{2} = 0\) является квадратным относительно \(y\). Применим формулу для квадратного уравнения: \(y^{2} — 5xy + 4x^{2} = 0\). Дискриминант равен \((-5x)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4x^{2} = 25x^{2} — 16x^{2} = 9x^{2}\). Найдём корни: \(y = \frac{5x \pm 3x}{2}\). Первый корень: \(y = \frac{5x + 3x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x\). Второй корень: \(y = \frac{5x — 3x}{2} = \frac{2x}{2} = x\). График состоит из двух прямых: \(y = 4x\) и \(y = x\), обе проходят через начало координат и имеют разные углы наклона.

1) Уравнение \(x^{2} = y^{2}\) можно переписать как \(x^{2} — y^{2} = 0\). Применяя формулу разности квадратов, получаем \((x — y)(x + y) = 0\), отсюда следует, что либо \(x — y = 0\), либо \(x + y = 0\). Это означает, что решениями уравнения являются две прямые: одна — \(x = y\), другая — \(x = -y\). Первая прямая проходит через начало координат и все точки, где значения \(x\) и \(y\) равны. Вторая прямая также проходит через начало координат, но значения \(x\) и \(y\) противоположны по знаку. Графически это две пересекающиеся в начале координат прямые под углом 90° друг к другу.

2) Уравнение \(x^{2} = 4\) не зависит от \(y\), поэтому для любого значения \(y\) оно выполняется только при \(x = 2\) или \(x = -2\). Это значит, что график состоит из двух вертикальных прямых: одна располагается на линии \(x = 2\), другая — на линии \(x = -2\). Для этих значений \(x\) любая точка с произвольным \(y\) удовлетворяет уравнению, поэтому график — две бесконечно длинные вертикальные линии, параллельные оси \(y\).

3) Уравнение \((x+2)(y-3) = 0\) равняется нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель \(x+2 = 0\) при \(x = -2\), а второй \(y-3 = 0\) при \(y = 3\). Значит, график состоит из двух прямых: вертикальной \(x = -2\) и горизонтальной \(y = 3\). Эти прямые пересекаются в точке \((-2, 3)\), а все остальные точки на этих линиях также являются решениями уравнения. Таким образом, график — это две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

4) Уравнение \(y^{2} + 6xy = 0\) можно разложить по формуле выноса общего множителя: \(y(y + 6x) = 0\). Это означает, что либо \(y = 0\), либо \(y + 6x = 0\), то есть \(y = -6x\). Первая прямая \(y = 0\) совпадает с осью \(x\), а вторая — наклонная прямая, проходящая через начало координат с углом наклона, равным \(-6\). Таким образом, график состоит из двух прямых: одна горизонтальная и одна наклонная, пересекающихся в начале координат.

5) Уравнение \(xy — 3x + y = 3\) сначала преобразуем: перенесём все члены в одну часть, получим \(xy — 3x + y — 3 = 0\). Группируем слагаемые: \(y(x + 1) — 3(x + 1) = 0\). Теперь вынесем общий множитель \((x + 1)\): \(y(x + 1) = 3(x + 1)\). Если \(x \neq -1\), можно разделить обе части на \((x + 1)\), получим \(y = \frac{3(x+1)}{x+1} = 3\). Но при \(x = -1\) исходное выражение обращается в \(0\), а \(y\) не определён (деление на ноль). Поэтому график — это прямая \(y = 3\) для всех \(x \neq -1\), а при \(x = -1\) решений нет, то есть в этой точке график имеет разрыв.

6) Уравнение \(y^{2} — 5xy + 4x^{2} = 0\) является квадратным относительно \(y\). Применим формулу для квадратного уравнения: \(y^{2} — 5xy + 4x^{2} = 0\). Дискриминант равен \((-5x)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4x^{2} = 25x^{2} — 16x^{2} = 9x^{2}\). Найдём корни: \(y = \frac{5x \pm 3x}{2}\). Первый корень: \(y = \frac{5x + 3x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x\). Второй корень: \(y = \frac{5x — 3x}{2} = \frac{2x}{2} = x\). График состоит из двух прямых: \(y = 4x\) и \(y = x\), обе проходят через начало координат и имеют разные углы наклона.