ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\sqrt{2x-2}/\sqrt{x^2-4}\), если \(x>2\).

Сначала преобразуем подкоренное выражение:
\(\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-4}}\).

Заметим, что \(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{(x-2)(x+2)}\). Тогда
\(\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-4}}=\sqrt{(x+2)-2\sqrt{(x+2)(x-2)}+(x-2)}\).

Получаем полный квадрат:
\(\sqrt{( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} )^2}=|\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}|\).

При \(x>2\) имеем \(\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}\), поэтому
\(|\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}|=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\).

Ответ: \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\).

Исходное выражение для упрощения при условии \(x>2\) имеет вид \(\sqrt{2x-2\sqrt{x^{2}-4}}\). Ключевая идея состоит в распознавании структуры полного квадрата под корнем. Заметим, что \(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\), поэтому \(\sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{(x-2)(x+2)}\). Подставим это в исходное выражение: получаем \(\sqrt{2x-2\sqrt{(x-2)(x+2)}}\). Далее разложим \(2x\) как сумму двух симметричных членов: \(2x=(x+2)+(x-2)\). Тогда подкоренное выражение превращается в \((x+2)-2\sqrt{(x+2)(x-2)}+(x-2)\). Такое представление удобно, потому что оно совпадает с формулой развёртывания квадрата разности.

Рассмотрим выражение \((\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})^{2}\). По формуле квадрата разности имеем \((\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})^{2}=(x+2)-2\sqrt{(x+2)(x-2)}+(x-2)\). Это в точности то, что стоит под знаком корня. Следовательно, подкоренное выражение является полным квадратом: \(\sqrt{( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} )^{2}}\). Корень квадратный из квадрата даёт абсолютную величину аргумента, то есть \(\sqrt{( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} )^{2}}=|\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}|\). Этот шаг гарантированно корректен, так как \(\sqrt{\cdot}\) определён для неотрицательных значений, а квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Осталось убрать модуль, используя условие \(x>2\). При \(x>2\) выполняется \(x+2>x-2\), а функция корня монотонно возрастает на неотрицательных аргументах; значит \(\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}\). Следовательно, разность \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\) положительна, и модуль раскрывается без изменения знака: \(|\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}|=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\). Это результат корректен на всей области \(x>2\), так как в этой области обе подкоренные величины положительны, формула полного квадрата применима, а раскрытие модуля выполняется по знаку разности, определяемому монотонностью корня.

Ответ: \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\).