ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \(x^2 = 4y^2;\)

2) \(y^2 = 1;\)

3) \(xy — 4x + 2y = 8;\)

4) \(x^2 — 6xy + 5y^2 = 0.\)

1) \(x^2 = 4y^2\)
\(x^2 — 4y^2 = 0\)
\((x — 2y)(x + 2y) = 0\)
\(x = 2y\) или \(x = -2y\)

2) \(y^2 = 1\)
\(y = 1\) или \(y = -1\)

3) \(xy — 4x + 2y = 8\)
\(xy + 2y = 8 + 4x\)
\(y(x + 2) = 8 + 4x\)
\(y = \frac{8 + 4x}{x + 2}\)

4) \(x^2 — 6xy + 5y^2 = 0\)
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 — 6xy + 5y^2 = 0\)
\(x^2 — 6y x + 5y^2 = 0\)
\(x = \frac{6y \pm \sqrt{36y^2 — 20y^2}}{2}\)
\(x = \frac{6y \pm \sqrt{16y^2}}{2}\)
\(x = \frac{6y \pm 4y}{2}\)
\(x_1 = \frac{10y}{2} = 5y\)
\(x_2 = \frac{2y}{2} = y\)
Ответ: \(x = y\) или \(x = 5y\)

1) Рассмотрим уравнение \(x^2 = 4y^2\). Это уравнение можно привести к виду \(x^2 — 4y^2 = 0\). Заметим, что это разность квадратов, которая раскладывается по формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). В нашем случае \(a = x\), \(b = 2y\), поэтому получаем: \((x — 2y)(x + 2y) = 0\). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(x — 2y = 0\), либо \(x + 2y = 0\). Решая каждое уравнение, получаем два решения: \(x = 2y\) и \(x = -2y\). Это уравнения двух прямых, которые проходят через начало координат и наклонены под углом, определяемым коэффициентами при \(y\).

2) Уравнение \(y^2 = 1\) представляет собой простое квадратное уравнение относительно \(y\). Чтобы решить его, перенесём всё в одну сторону: \(y^2 — 1 = 0\). Это снова разность квадратов: \((y — 1)(y + 1) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Следовательно, \(y — 1 = 0\) или \(y + 1 = 0\), то есть \(y = 1\) или \(y = -1\). Это две горизонтальные прямые на координатной плоскости: одна проходит через точку \(y = 1\), другая через \(y = -1\).

3) Уравнение \(xy — 4x + 2y = 8\) содержит оба переменных в произведении, а также линейные члены. Сгруппируем члены с \(y\): \(xy + 2y = 8 + 4x\). Вынесем \(y\) за скобку: \(y(x + 2) = 8 + 4x\). Теперь выразим \(y\) через \(x\): \(y = \frac{8 + 4x}{x + 2}\). Это уравнение задаёт кривую, называемую гиперболой, но сдвинутую и искажённую из-за наличия \(+4x\) в числителе и \(+2\) в знаменателе. Для каждого значения \(x\), кроме \(x = -2\) (где знаменатель обращается в ноль), можно найти соответствующее значение \(y\).

4) В уравнении \(x^2 — 6xy + 5y^2 = 0\) обе переменные \(x\) и \(y\) присутствуют в квадратичных и смешанных членах. Это квадратное уравнение относительно \(x\), где коэффициенты зависят от \(y\). Применяем формулу корней квадратного уравнения: \(x^2 — 6y x + 5y^2 = 0\). Здесь \(a = 1\), \(b = -6y\), \(c = 5y^2\). Находим дискриминант: \(D = (-6y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5y^2 = 36y^2 — 20y^2 = 16y^2\). Корни: \(x = \frac{6y \pm \sqrt{16y^2}}{2}\). Корень из \(16y^2\) равен \(4y\), поэтому \(x = \frac{6y + 4y}{2}\) и \(x = \frac{6y — 4y}{2}\). Получаем \(x_1 = \frac{10y}{2} = 5y\) и \(x_2 = \frac{2y}{2} = y\). Следовательно, решения: \(x = y\) и \(x = 5y\), то есть это две прямые, проходящие через начало координат с разными углами наклона.