ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
1) \(x^2 + y^2 = 4, x + y = 2\)
2) \(x^2 + y^2 = 25, xy = -12\)
3) \(x = y^2 — 2y, x + y = 2\)

1) \(x^2 + y^2 = 4, x + y = 2\):

Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 4\) с центром в точке \((0, 0)\) и радиусом \(R = 2\). Уравнение прямой: \(y = 2 — x\). Решая систему уравнений, получаем ответ: \((0; 2), (2; 0)\).

2) \(x^2 + y^2 = 25, xy = -12\):

Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 25\) с центром в точке \((0, 0)\) и радиусом \(R = 5\). Уравнение гиперболы: \(y = -\frac{12}{x}\) с вершиной в точке \((0, 0)\). Решая систему уравнений, получаем ответ: \((-4; 3), (+3; 4), (3; -4), (4; -3)\).

3) \(x = y^2 — 2y, x + y = 2\):

Уравнение параболы: \(x = y^2 — 2y\) с вершиной в точке \((-1, 1)\). Уравнение прямой: \(y = 2 — x\). Решая систему уравнений, получаем ответ: \((0; 2), (3; -1)\).

Рассмотрим первую систему \(x^{2}+y^{2}=4,\; x+y=2\). Геометрически это пересечение окружности с центром в начале координат и радиуса \(R=2\) с прямой, диагонально пересекающей первую и вторую четверти.

Для точного решения выразим из второго уравнения \(y=2-x\) и подставим в уравнение окружности: \(x^{2}+(2-x)^{2}=4\). Раскрывая скобки, получаем \(x^{2}+4-4x+x^{2}=4\), то есть \(2x^{2}-4x=0\). Вынесем общий множитель \(2x\): \(2x(x-2)=0\). Следовательно, \(x=0\) или \(x=2\). Подставляя обратно в \(y=2-x\), получаем для \(x=0\) значение \(y=2\), а для \(x=2\) — \(y=0\). Таким образом, система имеет две точки пересечения \( (0;2)\) и \( (2;0)\). Обе точки лежат на окружности радиуса 2 и одновременно удовлетворяют линейному ограничению суммы координат, что подтверждает согласованность алгебраического решения с геометрической картиной.

Для второй системы \(x^{2}+y^{2}=25,\; xy=-12\) удобно использовать тождество для квадрата суммы: \((x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\). Подставляя данные, получаем \((x+y)^{2}=25+2(-12)=25-24=1\), значит \(x+y=\pm 1\).

Это разветвляет задачу на два случая. В первом случае \(x+y=1\) и \(xy=-12\). Тогда \(x\) и \(y\) — корни квадратного уравнения \(t^{2}-(x+y)t+xy=0\), то есть \(t^{2}-t-12=0\). Дискриминант равен \(D=1+48=49\), откуда \(t=\frac{1\pm 7}{2}\), то есть \(t=4\) или \(t=-3\). Соответствующие пары \((x,y)\) дают \((4;-3)\) и \((-3;4)\). Во втором случае \(x+y=-1\) и \(xy=-12\). Аналогично решаем \(t^{2}-(-1)t-12=0\), то есть \(t^{2}+t-12=0\) с дискриминантом \(D=1+48=49\), откуда \(t=\frac{-1\pm 7}{2}\), то есть \(t=3\) или \(t=-4\). Получаем пары \((3;-4)\) и \((-4;3)\). Каждая из найденных точек удовлетворяет одновременно и окружности радиуса \(5\), и гиперболе \(xy=-12\): подстановка проверяет равенства \(x^{2}+y^{2}=25\) и произведение \(xy=-12\), а также сумма \(\pm 1\) согласуется с вычисленным \((x+y)^{2}=1\).

Для третьей системы \(x=y^{2}-2y,\; x+y=2\) эффективнее исключить \(x\), выразив его из линейного уравнения: \(x=2-y\).

Подставим в уравнение параболы: \(2-y=y^{2}-2y\). Переносим всё в одну часть: \(0=y^{2}-2y-(2-y)=y^{2}-2y-2+y=y^{2}-y-2\). Решаем квадратное уравнение \(y^{2}-y-2=0\) с дискриминантом \(D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9\). Тогда \(y=\frac{1\pm 3}{2}\), откуда \(y=2\) или \(y=-1\). Для \(y=2\) из \(x=2-y\) получаем \(x=0\), а для \(y=-1\) имеем \(x=3\). Следовательно, решения \((0;2)\) и \((3;-1)\). Геометрически это точки пересечения прямой \(x+y=2\) с параболой, представимой как \(x=(y-1)^{2}-1\) после выделения полного квадрата: \(x=y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1\). Вершина параболы находится в точке \((-1;1)\), ось направлена вдоль оси \(x\), что согласуется с найденными реализациями: одна точка лежит выше вершины на прямой, другая — справа и ниже, подтверждая корректность алгебраического решения.