ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите, при каких значениях параметра a система уравнений \(x^2 + y^2 = 2(1 + a), (x + y)^2 = 14\) имеет ровно два решения.

1) Из второго уравнения получаем \(2xy = 12 — 2a\) и \(y = \frac{6 — a}{x}\).
2) Подставляя \(y\) в первое уравнение, получаем \(x^2 + \left(\frac{6 — a}{x}\right)^2 = 2(1 + a)\), которое можно упростить до \(x^2 — 2(1 + a)x^2 + (6 — a)^2 = 0\).
3) Решая это уравнение, находим, что \(x^2\) имеет только одно значение, когда \(D = 4(1 + a)^2 — 4(6 — a)^2 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(a = \frac{5}{2}\).,

Ответ: \(a = \frac{5}{2}\)

Решение:

Первое уравнение дано в виде \(x^2 + y^2 + 2xy = 2(1 + a)\), а второе уравнение в виде \(2xy = 12 — 2a\). Из второго уравнения можно выразить \(y\) через \(x\) и \(a\): \(y = \frac{6 — a}{x}\). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

\(x^2 + \left(\frac{6 — a}{x}\right)^2 = 2(1 + a)\)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, можно упростить это уравнение до:

\(x^2 — 2(1 + a)x^2 + (6 — a)^2 = 0\)

Решая это квадратное уравнение относительно \(x^2\), находим, что оно имеет только одно решение, когда дискриминант равен нулю:

\(D = 4(1 + a)^2 — 4(6 — a)^2 = 0\)

Решая это уравнение, получаем \(a = \frac{5}{2}\).

Ответ: \(a = \frac{5}{2}\).