ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение параметра c, при котором система уравнений \((x-c\sqrt{3})^2 + y^2 — 2y = 0, \sqrt{3}|x| — y = 4\) имеет единственное решение.

Наименьшее значение параметра \(c\), при котором система уравнений имеет единственное решение, равно \(c = -\frac{7}{3}\). Это следует из того, что дискриминант \(D\) уравнения \(4x^2 + (10\sqrt{3} — 2c\sqrt{3})x + (3c^2 + 24) = 0\) должен быть равен нулю, что приводит к уравнению \(3c^2 + 10c + 7 = 0\), решением которого является \(c = -\frac{7}{3}\).

1) Первое уравнение задает окружность:
\((x — c\sqrt{3})^2 + (y^2 — 2y + 1) = 1\)
\((x — c\sqrt{3})^2 + (y — 1)^2 = 1\)

2) Второе уравнение задает ломаную:
\(y = \sqrt{3}|x| — 4\)

3) Ломаная касается окружности при \(x \leq 0\):
\((x — c\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}x — 4 — 1)^2 = 1\)
\((x — c\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3}x + 5)^2 = 1\)
\(x^2 — 2xc\sqrt{3} + 3c^2 + 3x^2 + 10x\sqrt{3} + 25 = 1\)
\(4x^2 + (10\sqrt{3} — 2c\sqrt{3})x + (3c^2 + 24) = 0\)
\(4x^2 + 2\sqrt{3}(5 — c)x + 3(c^2 + 8) = 0\)
\(D = 4 \cdot 3(5 — c)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3(c^2 + 8)\)
\(D = 12(25 — 10c + c^2) — 12(4c^2 + 32)\)
\(D = 12(25 — 10c + c^2 — 4c^2 — 32)\)
\(D = 12(-7 — 10c — 3c^2) = -12(3c^2 + 10c + 7)\)

4) Уравнение имеет одно решение:
\(3c^2 + 10c + 7 = 0\)
\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 — 84 = 16\), тогда:
\(c_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 4}{6} = -\frac{1}{3}\)
\(c_2 = \frac{-10 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 4}{6} = -\frac{7}{3}\)

Ответ: \(c = -\frac{7}{3}\)