ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение параметра c, при котором система уравнений \((x + c\sqrt{3})^2 + y^2 + 6y + 8 = 0, \sqrt{3}|x| + y = 6\) имеет единственное решение.

Ответ: наибольшее значение параметра с, при котором система уравнений имеет единственное решение, равно \(c = 3\). Это следует из того, что уравнение \(9c^2 — 54c + 77 = 0\) имеет единственное решение при \(D = 144\), а значение \(c = 3\) удовлетворяет этому условию.

Для нахождения наибольшего значения параметра с, при котором система уравнений имеет единственное решение, рассмотрим следующие шаги:

1) Первое уравнение системы \((x + \sqrt{c}v3)^2 + y^2 + 6y + 8 = 0\) задает окружность с центром в точке \((-\sqrt{c}v3, -3)\) и радиусом \(r = 1\).

2) Второе уравнение системы \(v3|x| + y = 6\) задает ломаную линию, состоящую из двух полупрямых, соединенных в точке \((0, 6)\).

3) Для нахождения точек пересечения окружности и ломаной линии необходимо решить систему уравнений \((x + \sqrt{c}v3)^2 + (y — 3)^2 = 1\) и \(y = 6 — v3|x|\). Решение этой системы дает \(x = -\sqrt{c}v3 \pm \sqrt{1 — (6 — v3|x|)^2}\).

4) Условие единственности решения системы уравнений заключается в том, что ломаная линия должна касаться окружности в единственной точке. Это возможно, если дискриминант \(D\) уравнения \(4x^2 + 2\sqrt{c}v3x + (3c^2 + 80) = 0\) равен нулю.

5) Вычисляя \(D = 4 \cdot 3(c + 9)^2 — 4 \cdot 4(3c^2 + 80) = 144\), получаем, что \(c = 3\) является наибольшим значением параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение.