ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение параметра c, при котором система уравнений \((x + c\sqrt{3})^2 + y^2 + 6y + 8 = 0, \sqrt{3}|x| + y = 6\) имеет единственное решение.

Первое уравнение: \((x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0\). Приведём к виду окружности: \((x+c\sqrt{3})^2+(y+3)^2=1\).

Второе уравнение: \(\sqrt{3}|x|+y=6\Rightarrow y=6-\sqrt{3}|x|\). Для единственности решения ломаная должна касаться окружности.

Для ветви при \(x\le 0\): \(y=6+\sqrt{3}x\). Подстановка в окружность:
\((x+c\sqrt{3})^2+(6+\sqrt{3}x+3)^2=1\Rightarrow 4x^2+2\sqrt{3}(c+9)x+(3c^2+80)=0\).
Касание даёт дискриминант ноль:
\(\left(2\sqrt{3}(c+9)\right)^2-4\cdot 4\cdot(3c^2+80)=0\Rightarrow 9c^2-54c+77=0\).

Решения: \(c=\frac{54\pm 12}{18}\Rightarrow c_1=\frac{42}{18}=\frac{7}{3},\; c_2=\frac{66}{18}=\frac{11}{3}\). Наибольшее значение: \(c=\frac{11}{3}\).

Первое уравнение \((x+c\sqrt{3})^{2}+y^{2}+6y+8=0\) приводим к каноническому виду окружности через завершение квадрата по \(y\): добавляем и вычитаем \(9\), получаем \((x+c\sqrt{3})^{2}+(y+3)^{2}-1=0\), то есть \((x+c\sqrt{3})^{2}+(y+3)^{2}=1\). Это окружность радиуса \(1\) с центром \((-c\sqrt{3},-3)\). Второе уравнение \(\sqrt{3}|x|+y=6\) задаёт ломаную, состоящую из двух лучей: для \(x\ge 0\) имеем ветвь \(y=6-\sqrt{3}x\) с угловым коэффициентом \(-\sqrt{3}\), для \(x\le 0\) имеем ветвь \(y=6+\sqrt{3}x\) с угловым коэффициентом \(+\sqrt{3}\). Для единственного решения ломаная должна касаться окружности одной из своих ветвей; из симметрии по оси \(y\) достаточно рассмотреть одну ветвь и обеспечить нулевой дискриминант у полученного квадратного уравнения для точек пересечения.

Рассмотрим ветвь при \(x\le 0\): \(y=6+\sqrt{3}x\). Подставляем её в окружность: \((x+c\sqrt{3})^{2}+(6+\sqrt{3}x+3)^{2}=1\). Преобразуем второй квадрат: \(6+3=9\), следовательно \((\sqrt{3}x+9)^{2}=3x^{2}+18\sqrt{3}x+81\). Первый квадрат даёт \(x^{2}+2c\sqrt{3}x+3c^{2}\). Складывая, получаем \(x^{2}+2c\sqrt{3}x+3c^{2}+3x^{2}+18\sqrt{3}x+81=1\). Группируем по степеням \(x\): \(4x^{2}+2\sqrt{3}(c+9)x+(3c^{2}+80)=0\). Это квадратное уравнение относительно \(x\) описывает точки пересечения выбранной ветви ломаной с окружностью. Условие касания эквивалентно тому, что уравнение имеет единственное решение по \(x\), то есть его дискриминант равен нулю.

Вычислим дискриминант: \(D=\left(2\sqrt{3}(c+9)\right)^{2}-4\cdot 4\cdot(3c^{2}+80)=12(c+9)^{2}-16(3c^{2}+80)\). Раскрываем скобки: \(12(c^{2}+18c+81)-48c^{2}-1280=12c^{2}+216c+972-48c^{2}-1280\). Сводим подобные члены: \(-36c^{2}+216c-308=0\). Делим на \(-4\): \(9c^{2}-54c+77=0\). Решаем квадратное уравнение: \(c=\frac{54\pm \sqrt{54^{2}-4\cdot 9\cdot 77}}{2\cdot 9}=\frac{54\pm \sqrt{2916-2772}}{18}=\frac{54\pm \sqrt{144}}{18}=\frac{54\pm 12}{18}\). Получаем два значения параметра: \(c_{1}=\frac{54-12}{18}=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}\) и \(c_{2}=\frac{54+12}{18}=\frac{66}{18}=\frac{11}{3}\). Оба значения обеспечивают касание и, следовательно, единственное решение системы; из них наибольшее значение равно \(c=\frac{11}{3}\).

Ответ: \(c=\frac{11}{3}\).