ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений \(x = a + \sqrt{y}, y^2 — x^2 — 2x + 4y + 3 = 0\) имеет решения.

Ответ: \(a \le -3\) или \(a \ge \frac{3}{4}\)

Решение:
1) Из первого уравнения \(x — a = \sqrt{y}\) и \(y = x^2 — 2ax + a^2\) получаем квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 — (2a + 1)x + (a^2 + 1) = 0\)
2) Дискриминант этого уравнения \(D = (2a + 1)^2 — 4(a^2 + 1)\) должен быть неотрицательным, чтобы система имела решение.
3) Решая неравенство \(D \ge 0\), получаем \(a \le -3\) или \(a \ge \frac{3}{4}\).

Для начала, рассмотрим первое уравнение: \(x — a = \sqrt{y}\) и \(y = x^2 — 2ax + a^2\). Подставляя второе уравнение в первое, получаем квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^2 — (2a + 1)x + (a^2 + 1) = 0\)

Далее, необходимо найти дискриминант этого уравнения, который определяется как \(D = (2a + 1)^2 — 4(a^2 + 1)\). Для того, чтобы система имела решение, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть \(D \ge 0\).

Решая это неравенство, получаем:
\(D = 4a^2 + 4a + 1 — 4a^2 — 4 = 4a — 3 \ge 0\)
\(4a — 3 \ge 0\)
\(a \le -\frac{3}{4}\) или \(a \ge \frac{3}{4}\)

Таким образом, ответ: \(a \le -3\) или \(a \ge \frac{3}{4}\).