ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что точки пересечения парабол \(y = x^2 — 5\) и \(x = y^2 — 4\) лежат на одной окружности.

Точки пересечения парабол \(y = x^2 — 5\) и \(x = y^2 — 4\) лежат на окружности с уравнением \((x — \frac{1}{2})^2 + (y — \frac{1}{2})^2 = \frac{19}{4}\).

Для доказательства того, что точки пересечения парабол \(y = x^2 — 5\) и \(x = y^2 — 4\) лежат на окружности, необходимо решить систему уравнений, описывающих эти параболы, и получить уравнение окружности, на которой лежат точки пересечения.

Система уравнений имеет вид:
\(x^2 — y — 5 = 0\)
\(y^2 — x — 4 = 0\)

Сложив эти два уравнения, получаем:
\((x^2 — y — 5) + (y^2 — x — 4) = 0\)
\(x^2 + y^2 — x — y — 9 = 0\)

Преобразуем это уравнение, чтобы привести его к уравнению окружности:
\(x^2 — x + y^2 — y + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 9 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\)
\((x — \frac{1}{2})^2 + (y — \frac{1}{2})^2 = \frac{19}{4}\)

Таким образом, точки пересечения парабол лежат на окружности с центром в точке \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) и радиусом \(\sqrt{\frac{19}{4}}\).