ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что точки пересечения парабол \(y = x^2 — 5\) и \(x = y^2 — 4\) лежат на одной окружности.

Точки пересечения удовлетворяют системе: \(y=x^2-5\) и \(x=y^2-4\).

Складываем уравнения: \((x^2-y-5)+(y^2-x-4)=0\), получаем \(x^2+y^2-(x+y)-9=0\).

Дополняем до квадратов: \(x^2-x+\frac14+y^2-y+\frac14=9+\frac12\), то есть \((x-\frac12)^2+(y-\frac12)^2=\frac{19}{2}\).

Итак, все точки пересечения лежат на окружности \((x-\frac12)^2+(y-\frac12)^2=\frac{19}{2}\).

Рассматриваются две параболы: \(y=x^{2}-5\) и \(x=y^{2}-4\). Точка их пересечения \((x,y)\) должна одновременно удовлетворять обоим уравнениям, то есть система записывается как \(x^{2}-y-5=0\) и \(y^{2}-x-4=0\). Чтобы получить геометрическое место всех таких точек, сложим эти равенства по членам: \((x^{2}-y-5)+(y^{2}-x-4)=0\). В результате имеем \(x^{2}+y^{2}-(x+y)-9=0\). Это одно уравнение, которому удовлетворяют все точки пересечения, и его удобно привести к стандартному виду окружности, выполнив преобразование с дополнением до квадратов для переменных \(x\) и \(y\).

Дополняем до квадратов выражения \(x^{2}-x\) и \(y^{2}-y\). Знаем, что \(x^{2}-x=x^{2}-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\), аналогично \(y^{2}-y=(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\). Подставим эти представления в уравнение: \(x^{2}+y^{2}-(x+y)-9=0\) переписываем как \((x^{2}-x)+(y^{2}-y)-9=0\). Добавим и вычтем по \(\frac{1}{4}\) для каждого квадратичного блока: \((x^{2}-x+\frac{1}{4})+(y^{2}-y+\frac{1}{4})-9-\frac{1}{2}=0\). Это даёт \((x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\left(9+\frac{1}{2}\right)=0\), то есть \((x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{19}{2}\). Получено каноническое уравнение окружности с центром \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) и квадратом радиуса \(\frac{19}{2}\).

Следовательно, любая точка пересечения заданных парабол удовлетворяет уравнению окружности \((x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{19}{2}\). Обратное также верно для тех \((x,y)\), которые одновременно удовлетворяют исходной системе, поскольку переход от системы к сумме не добавлял посторонних решений: мы использовали линейную комбинацию уравнений, сохраняющую множество общих решений. Значит, множество точек пересечения парабол является подмножеством окружности указанного вида; тем самым доказано, что точки пересечения лежат на этой окружности, а центр и радиус определены явно через завершение квадратов.