Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(7^1 \cdot 23^n — 32^n\) кратно 47.
Доказательство: \(N = 7^n \cdot 23^n — 3^{2n} = 7^n \cdot (23^n — 3^{2n}) = 7^n \cdot (23^n — 3^n \cdot 3^n) =\)
\(= 7^n \cdot (23^n — 3^n) \cdot 3^n = 56^n — 9^n\). Так как \(56 — 9 = 47\), то \(N = 47 \cdot (56^{n-1} + 56^{n-2} \cdot 9 + \dots + 56 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1}) = 47\), что и требовалось доказать.
Доказательство: Пусть \(n\) — любое натуральное число. Тогда выражение \(7^n \cdot 23^n — 3^{2n}\) можно преобразовать следующим образом:
\(N = 7^n \cdot 23^n — 3^{2n} = 7^n \cdot (23^n — 3^n \cdot 3^n) = 7^n \cdot (23^n — 3^n) \cdot 3^n=\)
\( = (7^n \cdot 23^n) — (7^n \cdot 3^n) = 56^n — 9^n\)
Так как \(56 — 9 = 47\), то \(N = 47 \cdot (56^{n-1} + 56^{n-2} \cdot 9 + \dots + 56 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1})\). Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
\(N = 47 \cdot \frac{56^n — 9^n}{56 — 9} = 47\)
Таким образом, выражение \(7^n \cdot 23^n — 3^{2n}\) кратно 47 при любом натуральном \(n\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.