ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
1) \(y = x^2 — 4, 2x + y = -1\)
2) \(y = x^2, x = y^2\)
3) \(x = y^2 — 4y, x + y = 4\)

1) \(y = x^2 — 4, 2x + y = -1\):
Решение системы уравнений:
Из второго уравнения \(2x + y = -1\) получаем \(y = -2x — 1\). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
\(y = x^2 — 4\)
\(x^2 — 2x — 1 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, находим:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2}{2} = 2, -1\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = -2x — 1\), получаем:
\(y = -2(2) — 1 = -5\)
\(y = -2(-1) — 1 = 3\)

Ответ: \((-3; 5), (1; -3)\).

2) \(y = x^2, x = y^2\):
Решение системы уравнений:
Из второго уравнения \(x = y^2\) получаем \(y = \sqrt{x}\). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
\(y = x^2\)
\(\sqrt{x} = x^2\)
\(x = 0, 1\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = \sqrt{x}\), получаем:
\(y = \sqrt{0} = 0\)
\(y = \sqrt{1} = 1\)

Ответ: \((0; 0), (1; 1)\).

3) \(x = y^2 — 4y, x + y = 4\):
Решение системы уравнений:
Из первого уравнения \(x = y^2 — 4y\) получаем \(y^2 — 4y — x = 0\). Решая это квадратное уравнение, находим:
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4x}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2}\)
Подставляя это выражение во второе уравнение \(x + y = 4\), получаем:
\(x + \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2} = 4\)
\(x + 2 \pm \sqrt{4(4 + x)} = 8\)
\(\sqrt{4(4 + x)} = 6 — x\)
\(4(4 + x) = (6 — x)^2\)
\(16 + 4x = 36 — 12x + x^2\)
\(x^2 — 16x + 20 = 0\)
\(x = 4, -5\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2}\), получаем:
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + 4)}}{2} = 0, 4\)
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 — 5)}}{2} = -1\)

Ответ: \((0; 4), (5; -1)\).

В первой системе \(y = x^{2} — 4\) и \(2x + y = -1\) удобно выразить \(y\) из линейного уравнения: \(y = -2x — 1\). Подстановка в квадратичное уравнение даёт равенство графиков: \(-2x — 1 = x^{2} — 4\). Переносим всё в одну сторону: \(x^{2} + 2x — 3 = 0\). Это квадратное уравнение имеет коэффициенты \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\), дискриминант \(D = b^{2} — 4ac = 4 + 12 = 16\). Следовательно, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2}\), откуда \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -3\). Возвращаясь к \(y = -2x — 1\), для \(x = 1\) имеем \(y = -2\cdot 1 — 1 = -3\), а для \(x = -3\) имеем \(y = -2\cdot(-3) — 1 = 6 — 1 = 5\). Геометрически это пересечения параболы, открытой вверх и сдвинутой вниз на 4, и наклонной прямой с угловым коэффициентом \(-2\). Точки пересечения: \((-3; 5)\) и \((1; -3)\).

Проверка подстановкой подтверждает: для \((1; -3)\) верно \(1^{2} — 4 = -3\) и \(2\cdot 1 + (-3) = -1\); для \((-3; 5)\) верно \((-3)^{2} — 4 = 5\) и \(2\cdot(-3) + 5 = -1\).

Во второй системе \(y = x^{2}\) и \(x = y^{2}\) можно исключать любую переменную. Выразим из второго уравнения \(y = \sqrt{x}\) с учётом области определения \(\sqrt{x} \ge 0\) и \(x \ge 0\). Подстановка в первое уравнение даёт \(\sqrt{x} = x^{2}\). Обе части неотрицательны на \(x \ge 0\), поэтому возводим в квадрат: \(x = x^{4}\), что эквивалентно \(x^{4} — x = x(x^{3} — 1) = x(x — 1)(x^{2} + x + 1) = 0\). Учитывая \(x \ge 0\) и что \(x^{2} + x + 1 > 0\) для всех \(x\), получаем \(x = 0\) или \(x = 1\). Для \(x = 0\) из \(y = \sqrt{x}\) имеем \(y = 0\); для \(x = 1\) имеем \(y = 1\). Эти точки лежат на биссектрисе первого квадранта и одновременно на обеих параболах \(y = x^{2}\) и \(x = y^{2}\). Проверка: при \((0; 0)\) верны \(0 = 0^{2}\) и \(0 = 0^{2}\); при \((1; 1)\) верны \(1 = 1^{2}\) и \(1 = 1^{2}\).

Других решений нет, так как при \(x \in (0, 1)\) \(\sqrt{x} > x\) и \(\sqrt{x} < x^{2}\) невозможно одновременно, а при \(x > 1\) равенство \(\sqrt{x} = x^{2}\) также нарушается.

В третьей системе \(x = y^{2} — 4y\) и \(x + y = 4\) удобно использовать либо подстановку \(x = 4 — y\) во второе уравнение, либо сведение к квадратному уравнению по \(y\). Подставим \(x = 4 — y\) в \(x = y^{2} — 4y\): \(4 — y = y^{2} — 4y\). Переносим в одну сторону: \(y^{2} — 3y — 4 = 0\). Разложение по теореме Виета: \((y — 4)(y + 1) = 0\), следовательно, \(y_{1} = 4\) и \(y_{2} = -1\). Восстановим \(x\) из линейного уравнения \(x + y = 4\): при \(y = 4\) получаем \(x = 0\); при \(y = -1\) получаем \(x = 5\). Эти точки удовлетворяют и первому уравнению: для \((0; 4)\) имеем \(0 = 4^{2} — 4\cdot 4 = 16 — 16 = 0\); для \((5; -1)\) имеем \(5 = (-1)^{2} — 4\cdot(-1) = 1 + 4 = 5\). Геометрически первая кривая — парабола с вершиной в точке \((0; 2)\), открытая вправо, вторая — прямая с отрицательным углом наклона, пересекаются в двух точках \((0; 4)\) и \((5; -1)\). Таким образом, множество решений состоит из двух точек, и альтернативные подходы через дискриминант дают те же значения без лишних вычислительных ветвлений.

Ответы: для первой системы \((-3; 5), (1; -3)\); для второй системы \((0; 0), (1; 1)\); для третьей системы \((0; 4), (5; -1)\).