ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
1) \(y = x^2 — 4, 2x + y = -1\)
2) \(y = x^2, x = y^2\)
3) \(x = y^2 — 4y, x + y = 4\)

1) \(y = x^2 — 4, 2x + y = -1\): Ответ: \((-3; 5), (1; -3)\)

2) \(y = x^2, x = y^2\): Ответ: \((0; 0), (1; 1)\)

3) \(x = y^2 — 4y, x + y = 4\): Ответ: \((0; 4), (5; -1)\)

1) \(y = x^2 — 4, 2x + y = -1\):
Решение системы уравнений:
Из второго уравнения \(2x + y = -1\) получаем \(y = -2x — 1\). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
\(y = x^2 — 4\)
\(x^2 — 2x — 1 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, находим:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2}{2} = 2, -1\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = -2x — 1\), получаем:
\(y = -2(2) — 1 = -5\)
\(y = -2(-1) — 1 = 3\)

Ответ: \((-3; 5), (1; -3)\).

2) \(y = x^2, x = y^2\):
Решение системы уравнений:
Из второго уравнения \(x = y^2\) получаем \(y = \sqrt{x}\). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
\(y = x^2\)
\(\sqrt{x} = x^2\)
\(x = 0, 1\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = \sqrt{x}\), получаем:
\(y = \sqrt{0} = 0\)
\(y = \sqrt{1} = 1\)

Ответ: \((0; 0), (1; 1)\).

3) \(x = y^2 — 4y, x + y = 4\):
Решение системы уравнений:
Из первого уравнения \(x = y^2 — 4y\) получаем \(y^2 — 4y — x = 0\). Решая это квадратное уравнение, находим:
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4x}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2}\)
Подставляя это выражение во второе уравнение \(x + y = 4\), получаем:
\(x + \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2} = 4\)
\(x + 2 \pm \sqrt{4(4 + x)} = 8\)
\(\sqrt{4(4 + x)} = 6 — x\)
\(4(4 + x) = (6 — x)^2\)
\(16 + 4x = 36 — 12x + x^2\)
\(x^2 — 16x + 20 = 0\)
\(x = 4, -5\)
Подставляя найденные значения \(x\) в уравнение \(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + x)}}{2}\), получаем:
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 + 4)}}{2} = 0, 4\)
\(y = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 — 5)}}{2} = -1\)

Ответ: \((0; 4), (5; -1)\).