ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) является целым числом

1. Дано выражение: \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = x\)
2. Возводим обе части в квадрат:
\(x^2 = (23 — 8\sqrt{7}) + 2\sqrt{(23 — 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7})} + (23 + 8\sqrt{7})\)
3. Упрощаем выражение:
\(x^2 = 46 + 2\sqrt{529} — 64 \cdot 7 = 46 + 2 \cdot 23 — 448 = 64\)
4. Следовательно, \(x = \sqrt{64} = 8\), что является целым числом.

Пусть дано выражение \( \sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} \). Обозначим его через \(x\): \( x = \sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} \). Чтобы доказать, что \(x\) является целым числом, возведём обе части в квадрат. Получаем \( x^{2} = \left(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\right)^{2} \). Раскрывая скобки по формуле квадрата суммы, имеем \( x^{2} = (23 — 8\sqrt{7}) + (23 + 8\sqrt{7}) + 2\sqrt{(23 — 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7})} \). Первые два слагаемых дают \( 23 — 8\sqrt{7} + 23 + 8\sqrt{7} = 46 \), а подкоренное выражение в третьем слагаемом упрощается как произведение сопряжённых: \( (23 — 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7}) = 23^{2} — (8\sqrt{7})^{2} = 529 — 64\cdot 7 = 529 — 448 = 81 \). Следовательно, \( x^{2} = 46 + 2\sqrt{81} = 46 + 2\cdot 9 = 64 \).

Так как \( x^{2} = 64 \), из неотрицательности исходного выражения \( x = \sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} \ge 0 \) следует \( x = \sqrt{64} = 8 \). Тем самым значение исходного выражения равно \(8\), то есть является целым числом. Заметим, что ключевой шаг — использование произведения сопряжённых радикалов, которое устраняет иррациональную часть: \( (a — b)(a + b) = a^{2} — b^{2} \), где роль \(a\) играет \(23\), а роль \(b\) — \(8\sqrt{7}\). После этого радикал становится целым, поскольку \( \sqrt{81} = 9 \), и всё выражение превращается в точное целое число.

Можно также мыслить в обратном направлении: предположить, что \( \sqrt{23 — 8\sqrt{7}} = \sqrt{m} — \sqrt{n} \) и \( \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = \sqrt{m} + \sqrt{n} \) для некоторых целых \(m\) и \(n\), поскольку суммы и разности таких радикалов часто приводят к целому при сложении. Тогда \( (\sqrt{m} — \sqrt{n})^{2} = m + n — 2\sqrt{mn} \) должно совпасть с \( 23 — 8\sqrt{7} \), а \( (\sqrt{m} + \sqrt{n})^{2} = m + n + 2\sqrt{mn} \) — с \( 23 + 8\sqrt{7} \). Из сравнения получаем систему \( m + n = 23 \) и \( 2\sqrt{mn} = 8\sqrt{7} \), то есть \( mn = 16\cdot 7 = 112 \). Пара целых \(m, n\), удовлетворяющая этим условиям, — \( m = 16 \) и \( n = 7 \). Тогда \( \sqrt{23 — 8\sqrt{7}} = \sqrt{16} — \sqrt{7} = 4 — \sqrt{7} \) и \( \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = \sqrt{16} + \sqrt{7} = 4 + \sqrt{7} \), а их сумма \( (4 — \sqrt{7}) + (4 + \sqrt{7}) = 8 \). Это даёт тот же результат и дополнительно демонстрирует структуру выражения: оно специально составлено как сумма сопряжённых радикалов, которая всегда упрощается до целого числа при корректном подборе параметров.