ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) является целым числом

1. Дано выражение: \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = x\)
2. Возводим обе части в квадрат:
\(x^2 = (23 — 8\sqrt{7}) + 2\sqrt{(23 — 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7})} + (23 + 8\sqrt{7})\)
3. Упрощаем выражение:
\(x^2 = 46 + 2\sqrt{529} — 64 \cdot 7 = 46 + 2 \cdot 23 — 448 = 64\)
4. Следовательно, \(x = \sqrt{64} = 8\), что является целым числом.

1. Для доказательства того, что значение выражения является целым числом, необходимо показать, что при выполнении всех действий получается целое число. Рассмотрим данное выражение подробно.

2. Изначально дано выражение: \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = x\). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от операции извлечения квадратного корня:
\(x^2 = (23 — 8\sqrt{7}) + 2\sqrt{(23 — 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7})} + (23 + 8\sqrt{7})\)

3. Упрощаем выражение, раскрывая скобки и выполняя вычисления:
\(x^2 = 46 + 2\sqrt{529} — 64 \cdot 7 = 46 + 2 \cdot 23 — 448 = 64\)

4. Таким образом, мы получили, что \(x^2 = 64\), следовательно, \(x = \sqrt{64} = 8\), что является целым числом.

5. Поэтому можно утверждать, что значение выражения \(\sqrt{23 — 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) является целым числом, равным 8.