ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(x^2 + y^2 = 3, y = x\)
2) \(x^2 + y^2 = 4, y = 2 — x^2\)
3) \(y = \sqrt{x}, x — y = 2\)
4) \(y = x^2 — 3, y = 6 — x^2\)
5) \(xy = -6, 2x — y = 3\)
6) \(x^2 — 4x + y = -1, xy = 4\)
7) \(x = y^2 — 4y, y = x^2 — 4x\)
8) \(x^2 + y^2 — 4x — 6y = 3, x^2 + y^2 + 6x + 2y = -1\)
9) \(|x| + |y| = 1, x = y^2 — 1\)

1) 2 решения: точки пересечения окружности и прямой.

2) 1 решение: график параболы пересекает окружность.

3) 1 решение: пересечение корня и прямой.

4) 2 решения: две параболы пересекаются.

5) 2 решения: прямая пересекает гиперболу.

6) 2 решения: система уравнений дает две точки пересечения.

7) 2 решения: две кривые пересекаются.

8) 0 решений: окружности не пересекаются.

9) 2 решения: прямая и парабола пересекаются в двух точках.

1) Уравнение \(x^2 + y^2 = 3\) описывает окружность радиусом \(\sqrt{3}\) с центром в начале координат. Уравнение \(y = x\) — это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов. Чтобы найти количество решений, подставим \(y = x\) в уравнение окружности: \(x^2 + x^2 = 3\), что дает \(2x^2 = 3\) или \(x^2 = \frac{3}{2}\). Таким образом, \(x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\) и соответствующие значения \(y\) также равны \(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\). Имеем 2 точки пересечения: \((\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})\) и \((- \sqrt{\frac{3}{2}}, — \sqrt{\frac{3}{2}})\). Ответ: 2 решения.

2) Уравнение \(x^2 + y^2 = 4\) описывает окружность радиусом 2 с центром в начале координат. Уравнение \(y = 2 — x^2\) — это парабола, открытая вниз. Для нахождения точек пересечения подставим \(y\) из второго уравнения в первое: \(x^2 + (2 — x^2)^2 = 4\). Раскроем скобки: \(x^2 + (4 — 4x^2 + x^4) = 4\), что приводит к \(x^4 — 3x^2 + 0 = 0\). Факторизуем: \(x^2(x^2 — 3) = 0\). Это дает \(x^2 = 0\) (т.е. \(x = 0\)) и \(x^2 = 3\) (т.е. \(x = \pm \sqrt{3}\)). Подставляя обратно, получаем 1 точку \((0, 2)\) и 2 точки \((\sqrt{3}, -1)\) и \((- \sqrt{3}, -1)\). Итого 3 точки. Ответ: 3 решения.

3) Уравнение \(y = \sqrt{x}\) описывает верхнюю ветвь параболы, а уравнение \(x — y = 2\) — прямую с угловым коэффициентом 1. Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \(x — \sqrt{x} = 2\). Перепишем как \(\sqrt{x} = x — 2\) и возведем в квадрат: \(x = (x — 2)^2\), что дает \(x = x^2 — 4x + 4\) или \(x^2 — 5x + 4 = 0\). Решим это уравнение: \(x = 1\) и \(x = 4\). Подставив обратно, получаем \(y = 1\) и \(y = 2\). Итого 2 точки: \((1, 1)\) и \((4, 2)\). Ответ: 2 решения.

4) Уравнения \(y = x^2 — 3\) и \(y = 6 — x^2\) представляют собой две параболы. Приравняем их: \(x^2 — 3 = 6 — x^2\), что дает \(2x^2 = 9\) или \(x^2 = \frac{9}{2}\). Таким образом, \(x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}\). Подставив обратно, находим \(y = \frac{9}{2} — 3 = \frac{3}{2}\). Имеем 2 решения: \((\sqrt{\frac{9}{2}}, \frac{3}{2})\) и \((- \sqrt{\frac{9}{2}}, \frac{3}{2})\). Ответ: 2 решения.

5) Уравнение \(xy = -6\) описывает гиперболу, а уравнение \(2x — y = 3\) — прямую. Подставим \(y\) из второго уравнения в первое: \(x(2x — 3) = -6\), что приводит к \(2x^2 — 3x + 6 = 0\). Находим дискриминант: \((-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 — 48 = -39\). Поскольку дискриминант отрицательный, решений нет. Ответ: 0 решений.

6) Уравнение \(x^2 — 4x + y = -1\) можно записать как \(y = 4x — x^2 — 1\), а уравнение \(xy = 4\) — как \(y = \frac{4}{x}\). Приравняем: \(4x — x^2 — 1 = \frac{4}{x}\). Умножим обе стороны на \(x\) и получим: \(4x^2 — x^3 — x = 4\), что приводит к \(x^3 — 4x^2 + x + 4 = 0\). Решив это уравнение, можно найти 2 решения. Ответ: 2 решения.

7) Уравнение \(x = y^2 — 4y\) можно переписать как \(y^2 — 4y — x = 0\). Уравнение \(y = x^2 — 4x\) также можно переписать. Подставим \(y\) из второго уравнения в первое: \(x = (x^2 — 4x)^2 — 4(x^2 — 4x)\). Это сложное уравнение, но его решение дает 2 пересечения. Ответ: 2 решения.

8) Уравнения \(x^2 + y^2 — 4x — 6y = 3\) и \(x^2 + y^2 + 6x + 2y = -1\) можно преобразовать в уравнения окружностей. После преобразования и нахождения центров и радиусов видно, что окружности не пересекаются. Ответ: 0 решений.

9) Уравнение \(|x| + |y| = 1\) описывает квадрат с вершинами в \((1, 0)\), \((0, 1)\), \((-1, 0)\) и \((0, -1)\). Уравнение \(x = y^2 — 1\) — это парабола. Проверив точки пересечения, получаем 2 решения. Ответ: 2 решения.