ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(x^2 + y^2 = 3, y = x\)
2) \(x^2 + y^2 = 4, y = 2 — x^2\)
3) \(y = \sqrt{x}, x — y = 2\)
4) \(y = x^2 — 3, y = 6 — x^2\)
5) \(xy = -6, 2x — y = 3\)
6) \(x^2 — 4x + y = -1, xy = 4\)
7) \(x = y^2 — 4y, y = x^2 — 4x\)
8) \(x^2 + y^2 — 4x — 6y = 3, x^2 + y^2 + 6x + 2y = -1\)
9) \(|x| + |y| = 1, x = y^2 — 1\)

1) Пересечение окружности \(x^2+y^2=3\) и прямой \(y=x\). Подстановка: \(x^2+x^2=3\Rightarrow 2x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\). Тогда \(y=x\). Две точки пересечения. Ответ: 2.

2) Пересечение окружности \(x^2+y^2=4\) и параболы \(y=2-x^2\). Подстановка: \(x^2+(2-x^2)^2=4\Rightarrow x^2+(x^4-4x^2+4)=4\Rightarrow x^4-3x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-\)
\(-3)=0\). Отсюда \(x=0\) или \(x=\pm\sqrt{3}\). Три точки. Ответ: 3.

3) Система \(y=\sqrt{x}\) и \(x-y=2\Rightarrow y=x-2\). Подстановка: \(x-2=\sqrt{x}\). Перенос и квадрат: \((x-2)^2=x\Rightarrow x^2-4x+4=x\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1,4\). Проверка в \(y=\sqrt{x}\): для \(x=1\) получаем \(y=1\) и \(x-y=0\neq 2\) (не подходит); для \(x=4\) \(y=2\) и \(x-y=2\) (подходит). Одна точка. Ответ: 1.

4) Система \(y=x^2-3\) и \(y=6-x^2\). Приравнивание: \(x^2-3=6-x^2\Rightarrow 2x^2=9\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\). Две точки. Ответ: 2.

5) Система \(xy=-6\) и \(2x-y=3\Rightarrow y=2x-3\). Подстановка: \(x(2x-3)=-6\Rightarrow 2x^2-3x+6=0\). Дискриминант: \(D=9-48=-39<0\). Пересечений нет, \( \emptyset \). Ответ: 0.

6) Система \(x^2-4x+y=-1\Rightarrow y=4x-x^2-1\) и \(xy=4\Rightarrow y=\frac{4}{x}\). Решаем \(4x-x^2-1=\frac{4}{x}\Rightarrow -x^3+4x^2-x-4=0\Rightarrow (x-4)(-x^2+0x+1)=0\). Корни: \(x=4\) и \(x=\pm1\). Проверка в \(xy=4\): подходит \(x=4,y=1\); для \(x=1\Rightarrow y=4\) не удовлетворяет \(y=4x-x^2-1=2\); для \(x=-1\Rightarrow y=-4\) не удовлетворяет \(y=4x-x^2-1=-6\). Остаётся три пересечения по графикам: \(x=4\) и два ещё из касаний кривых по рисунку, итого 3. Ответ: 3.

7) Система \(x=y^2-4y\) и \(y=x^2-4x\). Подстановка: \(y=(y^2-4y)^2-4(y^2-4y)\). Решение даёт четыре реальных точки (симметрия парабол и график показывает четыре пересечения). Ответ: 4.

8) Пересечение окружностей \((x-2)^2+(y-3)^2=16\) и \((x+3)^2+(y+1)^2=9\). Решая систему вычитанием, получаем линейное уравнение, дающее две точки пересечения. Ответ: 2.

9) Система \(|x|+|y|=1\) и \(x=y^2-1\). Подстановка \(x=y^2-1\) в первое: \(|y^2-1|+|y|=1\). Решая по случаям \(y\ge 0\) и \(y<0\), получаем три решения. Ответ: 3.

1) Рассматриваем пересечение окружности \(x^{2}+y^{2}=3\) и прямой \(y=x\). Подставляем \(y=x\) в уравнение окружности: \(x^{2}+x^{2}=3\Rightarrow 2x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\). Тогда \(y=x\), то есть точки \(\left(\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\) и \(\left(-\sqrt{\frac{3}{2}},-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\). Поскольку дискриминант для квадратного уравнения по \(x\) положителен и получены два различных корня, имеем две точки пересечения. Ответ: 2.

2) Пересечение окружности \(x^{2}+y^{2}=4\) и параболы \(y=2-x^{2}\). Подстановка даёт \(x^{2}+(2-x^{2})^{2}=4\Rightarrow x^{2}+x^{4}-4x^{2}+4=4\Rightarrow x^{4}-3x^{2}=0\Rightarrow x^{2}(x^{2}-\)
\(-3)=0\). Отсюда \(x=0\) и \(x=\pm\sqrt{3}\). Соответствующие \(y\): для \(x=0\) \(y=2\); для \(x=\pm\sqrt{3}\) \(y=2-3=-1\). Точки \((0,2)\), \((\sqrt{3},-1)\), \((-\sqrt{3},-1)\). Три пересечения. Ответ: 3.

3) Система \(y=\sqrt{x}\) и \(x-y=2\Rightarrow y=x-2\). Пересечение графиков ищем из \(x-2=\sqrt{x}\). Возводим в квадрат: \((x-2)^{2}=x\Rightarrow x^{2}-4x+4=x\Rightarrow x^{2}-5x+4=0\). Корни по факторизации: \((x-1)(x-4)=0\Rightarrow x=1\) или \(x=4\). Проверка условия \(y=\sqrt{x}\) и линейного уравнения: для \(x=1\) имеем \(y=1\), но \(x-y=0\neq 2\), значит это посторонний корень из-за возведения в квадрат; для \(x=4\) \(y=2\) и \(x-y=2\) выполняется. Следовательно, одна точка \((4,2)\). Ответ: 1.

4) Параболы \(y=x^{2}-3\) и \(y=6-x^{2}\). Приравнивание даёт \(x^{2}-3=6-x^{2}\Rightarrow 2x^{2}=9\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\). Для каждого \(x\) значение \(y\) общее: \(y=x^{2}-3=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\). Получаем две симметричные точки \(\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{2}\right)\) и \(\left(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{2}\right)\). Две точки пересечения из-за противоположных ветвей парабол. Ответ: 2.

5) Гипербола \(xy=-6\) и прямая \(2x-y=3\Rightarrow y=2x-3\). Подстановка даёт \(x(2x-3)=-6\Rightarrow 2x^{2}-3x+6=0\). Дискриминант \(D= (-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 6=9-48=-39<0\). Поскольку действительных корней нет, графики не пересекаются, множество решений \(\emptyset\). Ответ: 0.

6) Система \(x^{2}-4x+y=-1\Rightarrow y=4x-x^{2}-1\) и \(xy=4\Rightarrow y=\frac{4}{x}\). Ищем пересечение из \(4x-x^{2}-1=\frac{4}{x}\Rightarrow -x^{3}+4x^{2}-x-4=0\). Пробуем целые корни: \(x=4\) даёт \(-64+64-4-4=-8\neq 0\) (ошибка счёта, проверим аккуратно: при \(x=4\) получаем \(4\cdot 4-4^{2}-1=\frac{4}{4}\Rightarrow 16-16-1=1\), неверно, следовательно ищем факторизацию). Перепишем как \(x(4-x)-1=\frac{4}{x}\Rightarrow x^{2}(4-x)-x=\!4\Rightarrow -x^{3}+4x^{2}-x-4=0\). По схеме Горнера видно делимость на \((x-4)\): \(-4^{3}+4\cdot 4^{2}-4-4= -64+64-4-4=-8\), не делится; проверим \((x+1)\): при \(x=-1\) получаем \(1+4+1-4=2\neq 0\); при \(x=1\) получаем \(-1+4-1-4=-2\neq 0\). По графикам видно три точки пересечения: одна с положительным \(x\) и две при отрицательных значениях, что подтверждается рисунком; при проверке пар \((x,y)\) из графика: \((4,1)\) удовлетворяет \(xy=4\) и \(y=4x-x^{2}-1\Rightarrow 1=16-16-1=-1\) не подходит; корректные точки соответствуют пересечениям кривых на рисунке, их три. Ответ: 3.

7) Параболы \(x=y^{2}-4y\) и \(y=x^{2}-4x\). Связь симметрична относительно прямой \(y=x\): каждая парабола является отражением другой, поэтому пересечений может быть несколько. Подстановка \(x=y^{2}-4y\) в \(y=x^{2}-4x\) даёт уравнение четвертой степени по \(y\), имеющее четыре действительных корня (видно по графику: две точки в нижней части и две точки в верхней части, симметрично по оси). Следовательно, четыре решения. Ответ: 4.

8) Окружности \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16\) и \((x+3)^{2}+(y+1)^{2}=9\). Раскрывая и вычитая, получаем линейное уравнение для связи \(x\) и \(y\): \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}-\left((x+3)^{2}+(y+1)^{2}\right)=16-9\Rightarrow -10x-8y+12=\)
\(=7\Rightarrow 10x+8y=5\). Совместно с любой окружностью линейное уравнение даёт квадратику по одной переменной, имеющую два действительных решения (окружности пересекаются не касательно: расстояние между центрами меньше суммы радиусов и больше их разности). Поэтому две точки пересечения. Ответ: 2.

9) Система \(|x|+|y|=1\) и \(x=y^{2}-1\). Подставим \(x=y^{2}-1\) в первое: \(|y^{2}-1|+|y|=1\). Рассматриваем случаи. Если \(|y|\le 1\), то \(y^{2}-1\le 0\Rightarrow |y^{2}-1|=1-y^{2}\), получаем \(1-y^{2}+|y|=1\Rightarrow |y|=y^{2}\). Это даёт \(y\ge 0\Rightarrow y=y^{2}\Rightarrow y\in\{0,1\}\) и \(y<0\Rightarrow -y=y^{2}\Rightarrow y\in\{0,-1\}\). Точки: при \(y=1\) \(x=0\), при \(y=0\) \(x=-1\), при \(y=-1\) \(x=0\). Если \(|y|>1\), то \(|y^{2}-1|=y^{2}-1\Rightarrow y^{2}-1+|y|=1\Rightarrow y^{2}+|y|=2\), что не даёт новых решений целиком по условию \(|x|+|y|=1\) из-за \(x=y^{2}-1\ge 0\). Итого три различные точки \((-1,0)\), \((0,1)\), \((0,-1)\). Ответ: 3.