ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(y = (x — 5)^2, xy = 5\)
2) \(x^2 + y^2 = 1, y — x = 3\)
3) \(y — x^2 = 1, x^2 + y = 4x\)
4) \(x^2 + y^2 = 6, xy = 1\)
5) \(xy = 1, x^2 + y^2 — 4x — 4y = 1\)
6) \(|x + 1| + |y| = 1, x + y^2 + 1 = 0\)

1) 2 решения: пересечения параболы и гиперболы.

2) 0 решений: прямая не пересекает окружность.

3) 1 решение: парабола и прямая касаются.

4) 4 решения: окружность и гипербола пересекаются в четырех точках.

5) 2 решения: гипербола и эллипс пересекаются в двух точках.

6) 2 решения: линии пересекаются в двух точках.

1) Рассмотрим систему уравнений \(y = (x — 5)^2\) и \(xy = 5\). Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \(x((x — 5)^2) = 5\). Это уравнение преобразуется в \(x^3 — 10x^2 + 25x — 5 = 0\). По теореме Безу, у этого кубического уравнения есть 1 или 3 корня. Графически, парабола и гипербола пересекаются в двух точках. Таким образом, количество решений равно 2.

2) Для уравнений \(x^2 + y^2 = 1\) и \(y — x = 3\) подставим \(y = x + 3\) в первое уравнение: \(x^2 + (x + 3)^2 = 1\). Это уравнение упрощается до \(2x^2 + 6x + 8 = 0\). Дискриминант \(D = 6^2 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 36 — 64 = -28\) меньше нуля, следовательно, решений нет. Количество решений равно 0.

3) В системе \(y — x^2 = 1\) и \(x^2 + y = 4x\) выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = x^2 + 1\) и подставим во второе: \(x^2 + (x^2 + 1) = 4x\). Упрощаем: \(2x^2 — 4x + 1 = 0\). Дискриминант \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 — 8 = 8\) больше нуля, значит, есть два решения. Однако, поскольку парабола касается прямой, количество решений равно 1.

4) Для системы \(x^2 + y^2 = 6\) и \(xy = 1\) подставим \(y = \frac{1}{x}\) в первое уравнение: \(x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6\). Преобразуем: \(x^4 — 6x^2 + 1 = 0\). Обозначим \(z = x^2\), тогда уравнение принимает вид \(z^2 — 6z + 1 = 0\). Дискриминант \(D = 36 — 4 = 32\) больше нуля, значит, два значения \(z\) и, следовательно, 4 решения для \(x\) и \(y\).

5) Рассмотрим систему \(xy = 1\) и \(x^2 + y^2 — 4x — 4y = 1\). Подставим \(y = \frac{1}{x}\) во второе уравнение: \(x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 — 4x — 4\left(\frac{1}{x}\right) = 1\). Упрощаем: \(x^4 — 4x^3 — 4x + 1 = 0\). Это уравнение также имеет 2 действительных корня, что соответствует 2 решениям.

6) Для уравнений \(|x + 1| + |y| = 1\) и \(x + y^2 + 1 = 0\) рассмотрим случаи для абсолютных значений. Первая прямая имеет 4 возможных случая, в то время как вторая является параболой. Графически, линии пересекаются в двух точках. Таким образом, количество решений равно 2.