ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения параметра a имеет система уравнений:

1) \(y = |x|, x^2 + y = a\)

2) \(|x| + |y| = a, x^2 + y^2 = 1\)

3) \(x^2 + y^2 = 4, y = x^2 + a\)

1) Если \(a < 0\), то решений нет; если \(a = 0\), то одно решение; если \(a > 0\), то два решения.

2) Если \(a < 1\) или \(a > \sqrt{2}\), то решений нет; если \(a = 1\) или \(a = \sqrt{2}\), то четыре решения; если \(1 < a < \sqrt{2}\), то восемь решений.

3) Если \(a < -\frac{17}{4}\) или \(a > 2\), то решений нет; если \(a = 2\), то одно решение; если \(-\frac{17}{4} < a < -2\), то два решения; если \(a = -2\), то три решения; если \(-2 < a < -\frac{17}{4}\), то четыре решения.

1) \(y = |x|, x^2 + y = a\)
Если \(a < 0\), то решений нет, так как \(x^2 + |x| \geq 0\) для любого \(x\), и \(a < 0\) не может быть удовлетворено.
Если \(a = 0\), то единственное решение — точка \((0, 0)\).
Если \(a > 0\), то два решения: \((x, |x|)\) и \((-x, |x|)\), где \(x = \pm \sqrt{a}\).

2) \(|x| + |y| = a, x^2 + y^2 = 1\)
Если \(a < 1\) или \(a > \sqrt{2}\), то решений нет, так как \(|x| + |y| \geq 1\) для любых \(x\) и \(y\) с \(x^2 + y^2 = 1\), и \(a < 1\) или \(a > \sqrt{2}\) не может быть удовлетворено.
Если \(a = 1\) или \(a = \sqrt{2}\), то четыре решения: \((\pm 1, 0), (0, \pm 1)\).
Если \(1 < a < \sqrt{2}\), то восемь решений: \((\pm x, \pm y)\), где \(x^2 + y^2 = 1\) и \(|x| + |y| = a\).

3) \(x^2 + y^2 = 4, y = x^2 + a\)
Если \(a < -\frac{17}{4}\) или \(a > 2\), то решений нет, так как \(x^2 + (x^2 + a)^2 = 4\) не имеет решений для таких значений \(a\).
Если \(a = 2\), то единственное решение \((0, 2)\).
Если \(-\frac{17}{4} < a < -2\), то два решения \((\pm \sqrt{-a — 4}, -a — 4)\).
Если \(a = -2\), то три решения \((\pm 1, -1), (0, -2)\).
Если \(-2 < a < -\frac{17}{4}\), то четыре решения.