ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения параметра a имеет система уравнений:

1) \(x^2 + y^2 = a, |x| + |y| = 1\)

2) \(x^2 + y^2 = 9, y = a — |x|\)

3) \(|x| + |y| = 1, x^2 + y^2 = a\)

1) Пересечение окружности \(x^2+y^2=a\) с прямыми \(|y|=1\) (то есть \(y=1\) и \(y=-1\)).
2) Подставим \(y=\pm1\): получаем \(x^2+1=a\Rightarrow x^2=a-1\).
3) Количество решений зависит от знака \(a-1\):
— Если \(a<1\), то \(x^2=a-1<0\), решений нет: \(\emptyset\). - Если \(a=1\), то \(x^2=0\Rightarrow x=0\). Две точки: \((0,1)\) и \((0,-1)\). - Если \(a>1\), то \(x=\pm\sqrt{a-1}\). Четыре точки: \(\left(\pm\sqrt{a-1},\,1\right)\) и \(\left(\pm\sqrt{a-1},\,-1\right)\).

2) Если \(a < -3\) или \(a > 3\sqrt{2}\), то решений нет; если \(a = -3\), то одно решение; если \(-3 < a < 3\) или \(a = 3\sqrt{2}\), то два решения; если \(a = 3\), то три решения; если \(3 < a < 3\sqrt{2}\), то четыре решения.

3) Если \(a < \frac{1}{2}\) или \(a > 1\), то решений нет; если \(a = \frac{1}{2}\) или \(a = 1\), то четыре решения; если \(\frac{1}{2} < a < 1\), то восемь решений.

Рассматриваем систему: окружность \(x^{2}+y^{2}=a\) и условие \(|y|=1\), которое эквивалентно двум горизонтальным прямым \(y=1\) и \(y=-1\). Геометрически задача сводится к поиску точек пересечения окружности радиуса \(\sqrt{a}\) с центром в начале координат и двух параллельных прямых, отстоящих на единицу вверх и вниз от оси \(x\). Чтобы не прибегать к графике, решим аналитически: подставляем каждое из значений \(y=\pm1\) в уравнение окружности. Получаем уравнение на \(x\): \(x^{2}+1=a\), откуда следует \(x^{2}=a-1\). Таким образом, возможные значения \(x\) определяются только знаком и величиной числа \(a-1\).

1) Если \(a<1\), то \(a-1<0\) и уравнение \(x^{2}=a-1\) не имеет вещественных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, ни для \(y=1\), ни для \(y=-1\) точек пересечения нет, и вся система не имеет решений: \(\emptyset\). Геометрически это означает, что окружность радиуса \(\sqrt{a}\) слишком мала: её радиус меньше расстояния от центра до прямых \(y=\pm1\), которое равно \(1\), поэтому окружность не достигает этих прямых. Если \(a=1\), то \(x^{2}=0\), откуда \(x=0\). При \(y=1\) получаем точку \((0,1)\), при \(y=-1\) получаем точку \((0,-1)\). Это ровно две точки решения. Геометрически радиус окружности равен \(1\), и окружность касается обеих прямых: в каждом случае касание происходит в единственной точке, соответствующей \(x=0\). Переход от отсутствия решений к двум решениям происходит именно при равенстве радиуса окружности расстоянию до прямых. Если \(a>1\), то \(a-1>0\), и уравнение \(x^{2}=a-1\) имеет два симметричных решения \(x=\pm\sqrt{a-1}\). Для каждого из двух значений \(y\) возникают две точки: при \(y=1\) это \((\sqrt{a-1},1)\) и \((-\sqrt{a-1},1)\); при \(y=-1\) это \((\sqrt{a-1},-1)\) и \((-\sqrt{a-1},-1)\). Итого четыре решения. Геометрически радиус \(\sqrt{a}\) становится больше \(1\), окружность пересекает каждую из прямых в двух симметричных точках по горизонтали, что удваивает число пересечений и даёт в сумме четыре точки для всей системы.

2) Для системы уравнений \(x^2 + y^2 = 9, y = a — |x|\):
Если \(a < -3\) или \(a > 3\sqrt{2}\), то решений нет, так как правая часть второго уравнения не может быть равна \(9\).
Если \(a = -3\), то единственным решением является \(x = 0, y = -3\).
Если \(-3 < a < 3\) или \(a = 3\sqrt{2}\), то существует два решения: \(x = \pm \sqrt{9 — a^2}, y = a \mp \sqrt{9 — a^2}\).
Если \(a = 3\), то существует три решения: \(x = 0, y = 3\) и \(x = \pm 2, y = 1\).
Если \(3 < a < 3\sqrt{2}\), то существует четыре решения.

3) Для системы уравнений \(|x| + |y| = 1, x^2 + y^2 = a\):
Если \(a < \frac{1}{2}\) или \(a > 1\), то решений нет, так как сумма модулей координат не может быть равна 1.
Если \(a = \frac{1}{2}\) или \(a = 1\), то существует четыре решения: \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Если \(\frac{1}{2} < a < 1\), то существует восемь решений.