ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что система уравнений имеет единственное решение при всех значениях параметра a.

Система:
\( ax+(a-1)y=2a \),
\( 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5 \).

Перепишем как две прямые: \( y=\frac{2a-ax}{a-1} \) и \( y=\frac{a+5-3(a+2)x}{4a+1} \) при \( a\neq 1 \) и \( a\neq -\frac{1}{4} \). Единственность решения эквивалентна непараллельности: коэффициенты при \(x\) не равны.

Условие параллельности: \( \frac{-a}{a-1}=\frac{-3(a+2)}{4a+1} \Rightarrow a(4a+1)=(a-1)(3a+6) \Rightarrow 4a^2+a=3a^2+6a-\)
\(-3a-6 \Rightarrow a^2-2a+6=0 \).

Дискриминант: \( D=(-2)^2-4\cdot1\cdot6=4-24=-20<0 \). Следовательно, равенство невозможно при любом \(a\in\mathbb{R}\); прямые не параллельны. Для особых \(a\): — Если \(a=1\), система: \( x=2 \), \( 9x+5y=6 \Rightarrow y=-\frac{12}{5} \) — единственное решение. — Если \(a=-\frac{1}{4}\), система: \( -\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}y=-\frac{1}{2} \), \( \frac{21}{4}x= \frac{19}{4} \Rightarrow x=\frac{19}{21} \), затем \( y=\frac{1}{5}\left(2-\frac{19}{21}\right)=\frac{23}{105} \) — единственное решение. Итак, при всех \(a\in\mathbb{R}\) система имеет единственное решение.

Рассмотрим систему линейных уравнений \( ax+(a-1)y=2a \) и \( 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5 \). Каждое уравнение описывает прямую на плоскости \((x,y)\), и единственность решения эквивалентна тому, что эти прямые пересекаются в единственной точке, то есть не параллельны. Перепишем каждое уравнение в виде явной зависимости \(y\) от \(x\). Из первого имеем \( (a-1)y=2a-ax \Rightarrow y=\frac{2a-ax}{a-1}=-\frac{a}{a-1}x+\frac{2a}{a-1} \) при условии \( a\neq 1 \). Из второго получаем \( (4a+1)y=a+5-3(a+2)x \Rightarrow y=\frac{a+5-3(a+2)x}{4a+1}=-\frac{3(a+2)}{4a+1}x+\frac{a+5}{4a+1} \) при условии \( a\neq -\frac{1}{4} \). Коэффициенты при \(x\) в этих формулах являются угловыми коэффициентами прямых, и непараллельность означает их неравенство. Проверим условие параллельности: \( -\frac{a}{a-1}=-\frac{3(a+2)}{4a+1} \Rightarrow \frac{a}{a-1}=\frac{3(a+2)}{4a+1} \Rightarrow a(4a+1)=(a-1)(3a+6) \). Раскроем скобки: \( 4a^{2}+a=3a^{2}+6a-3a-6 \Rightarrow 4a^{2}+a=3a^{2}+3a-6 \Rightarrow a^{2}-2a+6=0 \). Найдем дискриминант: \( D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0 \). Следовательно, это квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть равенство угловых коэффициентов невозможно ни при одном \( a\in\mathbb{R} \). Значит, для всех параметров, где обе формулы для \(y\) корректны, прямые не параллельны и пересекаются в единственной точке, обеспечивая уникальное решение системы. Отдельно рассмотрим граничные значения параметра, при которых приведенные формулы для \(y\) недопустимы, то есть \( a=1 \) и \( a=-\frac{1}{4} \). При \( a=1 \) первое уравнение принимает вид \( x=2 \), так как \( a-1=0 \) и остается \( 1\cdot x+0\cdot y=2 \). Подставляем \( x=2 \) во второе уравнение: \( 3(1+2)\cdot 2+(4\cdot 1+1)y=1+5 \Rightarrow 18+5y=6 \Rightarrow 5y=-12 \Rightarrow y=-\frac{12}{5} \). Мы получили одну конкретную точку пересечения \( (2,-\frac{12}{5}) \), то есть единственное решение при \( a=1 \). При \( a=-\frac{1}{4} \) во втором уравнении коэффициент при \(y\) равен нулю, поэтому удобно решать систему напрямую. Подставим \( a=-\frac{1}{4} \) в первое уравнение: \( -\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{4}-1\right)y=-\frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}y=-\frac{1}{2} \). Во втором уравнении имеем \( 3\left(-\frac{1}{4}+2\right)x+(4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)+1)y=-\frac{1}{4}+5 \Rightarrow \frac{21}{4}x+0\cdot y=\frac{19}{4} \Rightarrow x=\frac{19}{21} \). Подставляем \( x=\frac{19}{21} \) в первое уравнение: \( -\frac{1}{4}\cdot\frac{19}{21}-\frac{5}{4}y=-\frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{19}{84}-\frac{5}{4}y=-\frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{5}{4}y=-\frac{1}{2}+\) \(+\frac{19}{84}=-\frac{42}{84}+\frac{19}{84}=-\frac{23}{84} \Rightarrow y=\frac{23}{105} \). Снова получена единственная пара \( \left(\frac{19}{21},\frac{23}{105}\right) \), то есть единственность решения сохраняется. Таким образом, параллельность прямых исключена для всех \( a\in\mathbb{R} \), так как уравнение \( a^{2}-2a+6=0 \) не имеет действительных решений, а в особых случаях \( a=1 \) и \( a=-\frac{1}{4} \) система непосредственно дает по одной паре \((x,y)\). Следовательно, система имеет единственное решение при любом действительном значении параметра \( a \).