ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} 3x^2 + xy — 2x + y — 5 = 0, \\ 2x^2 — xy — 3x — y — 5 = 0; \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} x^2 + 4xy = 5, \\ y^2 — 2xy = -1; \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 12, \\ 4x + 3xy — x^2 = 16; \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} x^2 — \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0, \\ y^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0. \end{cases}\)

1)
\(
\begin{cases}
3x^2 + xy — 2x + y — 5 = 0 \\
2x^2 — xy — 3x — y — 5 = 0
\end{cases}
\)
\(5x^2 — 5x — 10 = 0 \quad | : 2;\)
\(x^2 — x — 2 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1-3}{2} = -1 \quad и \quad x_2 = \frac{1+3}{2} = 2;\)

Первое значение:
\(2 \cdot (-1)^2 — y \cdot (-1) — 3 \cdot (-1) — y — 5 = 0;\)
\(2 + y + 3 — y — 5 = 0;\)
\(0y = 0;\)
\(y \in \mathbb{R};\)

Второе значение:
\(2 \cdot 2^2 — y \cdot 2 — 3 \cdot 2 — y — 5 = 0;\)
\(8 — 2y — 6 — y — 5 = 0;\)
\(3y = -3;\)
\(y = -1;\)
Ответ: \((2; -1); (-1; t), \text{где } t \in \mathbb{R}.\)

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + 4xy = 5 \\
y^2 — 2xy = -1
\end{cases}
\)
\(x^2 + 2xy + y^2 = 4;\)
\((x + y)^2 = 4;\)
\(x + y = -2, \quad x + y = 2;\)
\(y = -x — 2, \quad y = 2 — x;\)

Первое значение:
\(x^2 + 4x(-x — 2) = 5;\)
\(x^2 — 4x^2 — 8x = 5;\)
\(3x^2 + 8x + 5 = 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-8 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
и
\(x_2 = \frac{-8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1;\)
\(y_1 = -x_1 — 2 = \frac{5}{3} — 2 = \frac{5}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{1}{3}\)
\(y_2 = -x_2 — 2 = 1 — 2 = -1;\)

Второе значение:
\(x^2 + 4x(2 — x) = 5;\)
\(x^2 + 8x — 4x^2 = 5;\)
\(3x^2 — 8x + 5 = 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{8 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;\)
\(x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3};\)
\(y_1 = 2 — x_1 = 2 — 1 = 1;\)
\(y_2 = 2 — x_2 = 2 — \frac{5}{3} = \frac{6}{3} — \frac{5}{3} = \frac{1}{3};\)

Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; -\frac{1}{3}\right); (-1; -1); (1; 1); \left(\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right).\)

3)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 + xy = 12 \\
4x + 3xy + x^2 = 16
\end{cases}
\)
\(2x^2 + y^2 — 2xy — 4x = -4;\)
\(x^2 — 2xy + y^2 + x^2 — 4x + 4 = 0;\)
\((x — y)^2 + (x — 2)^2 = 0;\)
\(x — y = 0, \quad x — 2 = 0;\)
\(x = y, \quad x = 2;\)
\(y = x = 2;\)
Ответ: \((2; 2).\)

4)
\(
\begin{cases}
x^2 — \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0 \\
y^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0
\end{cases}
\)
\(x^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} + y^2 — \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0;\)
\(\left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + \left(y — \frac{1}{3}\right)^2 = 0;\)
\(x — \frac{1}{3} = 0, \quad y — \frac{1}{3} = 0;\)
\(x = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{3};\)
Ответ: \(\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right).\)

Рассмотрим подробно решение первой системы. Дана система:
\(
\begin{cases}
3x^{2} + xy — 2x + y — 5 = 0 \\
2x^{2} — xy — 3x — y — 5 = 0
\end{cases}
\)
Сложим обе системы, предварительно домножив второе уравнение на 1 для удобства. Складываем почленно:
\(3x^{2} + xy — 2x + y — 5 + 2x^{2} — xy — 3x — y — 5 = 0 + 0\).
Заметим, что \(xy\) и \(-xy\) сокращаются, \(y\) и \(-y\) также сокращаются. Получаем:
\(5x^{2} — 5x — 10 = 0\).
Разделим обе части на 5:
\(x^{2} — x — 2 = 0\).
Это квадратное уравнение с дискриминантом \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
Находим корни по формуле:
\(x_{1} = \frac{1 — 3}{2} = -1\),
\(x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\).

Подставим каждое значение \(x\) по очереди во второе уравнение системы, чтобы найти \(y\).
Сначала \(x = -1\):
\(2 \cdot (-1)^{2} — (-1)y — 3 \cdot (-1) — y — 5 = 0\).
\(2 \cdot 1 + y + 3 — y — 5 = 0\).
Здесь \(y\) и \(-y\) сокращаются, остается \(2 + 3 — 5 = 0\), то есть \(0 = 0\).
Это означает, что при \(x = -1\) любое значение \(y\) является решением.
Поэтому один из ответов — это \((-1; t)\), где \(t\) — любое действительное число (\(t \in \mathbb{R}\)).

Теперь рассмотрим \(x = 2\):
\(2 \cdot 2^{2} — 2y — 3 \cdot 2 — y — 5 = 0\).
\(2 \cdot 4 — 2y — 6 — y — 5 = 0\).
\(8 — 2y — 6 — y — 5 = 0\).
\(8 — 6 — 5 = -3\),
\(-2y — y = -3y\),
Получаем: \(-3y — 3 = 0\),
\(-3y = 3\),
\(y = -1\).
Таким образом, второй ответ — это \((2; -1)\).

В итоге, решение системы:
\((2; -1)\) и \((-1; t)\), где \(t \in \mathbb{R}\).

Рассмотрим теперь вторую систему:
\(
\begin{cases}
x^{2} + 4xy = 5 \\
y^{2} — 2xy = -1
\end{cases}
\)
Из второго уравнения выразим \(y^{2}\):
\(y^{2} = 2xy — 1\).
Теперь сложим оба уравнения:
\(x^{2} + 4xy + y^{2} — 2xy = 5 — 1\).
\(x^{2} + 2xy + y^{2} = 4\).
Это можно записать как \((x + y)^{2} = 4\), откуда \(x + y = 2\) или \(x + y = -2\).

Рассмотрим сначала \(x + y = 2\). Тогда \(y = 2 — x\).
Подставляем во второе уравнение:
\(y^{2} — 2xy = -1\),
\((2 — x)^{2} — 2x(2 — x) = -1\),
\(4 — 4x + x^{2} — 4x + 2x^{2} = -1\),
\(x^{2} + 8x — 4x^{2} = 5\),
\(3x^{2} — 8x + 5 = 0\).
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант \(D = (-8)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{8 — 2}{6} = 1\),
\(x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
Соответственно, \(y_{1} = 2 — 1 = 1\), \(y_{2} = 2 — \frac{5}{3} = \frac{1}{3}\).

Теперь рассмотрим \(x + y = -2\), тогда \(y = -x — 2\).
Подставляем во второе уравнение:
\((-x-2)^{2} — 2x(-x-2) = -1\),
\(x^{2} + 4x + 4 + 2x^{2} + 4x = -1\),
\(3x^{2} + 8x + 5 = 0\).
Дискриминант \(D = 8^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 — 60 = 4\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{-8 — 2}{6} = -\frac{5}{3}\),
\(x_{2} = \frac{-8 + 2}{6} = -1\).
\(y_{1} = -x_{1} — 2 = \frac{5}{3} — 2 = -\frac{1}{3}\),
\(y_{2} = -x_{2} — 2 = 1 — 2 = -1\).

Ответы для второй системы:
\(\left(\frac{5}{3}; -\frac{1}{3}\right)\), \((-1; -1)\), \((1; 1)\), \(\left(\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\).

Рассмотрим подробно третью систему:
\(
\begin{cases}
x^{2} + y^{2} + xy = 12 \\
4x + 3xy + x^{2} = 16
\end{cases}
\)
Второе уравнение преобразуем:
\(4x + 3xy + x^{2} = 16\),
\(x^{2} + 3xy + 4x = 16\).
Сложим с первым уравнением:
\(x^{2} + y^{2} + xy + x^{2} + 3xy + 4x = 12 + 16\),
\(2x^{2} + y^{2} + 4xy + 4x = 28\).
Однако удобнее выразить \(xy\) из первого уравнения:
\(xy = 12 — x^{2} — y^{2}\),
и подставить во второе:
\(4x + 3(12 — x^{2} — y^{2}) + x^{2} = 16\),
\(4x + 36 — 3x^{2} — 3y^{2} + x^{2} = 16\),
\(4x + 36 — 2x^{2} — 3y^{2} = 16\),
\(-2x^{2} — 3y^{2} + 4x + 20 = 0\).
Но, если попробовать другой способ:
Вычтем из первого уравнения второе (домноженное на 1):
\(x^{2} + y^{2} + xy — (x^{2} + 3xy + 4x) = 12 — 16\),
\(y^{2} — 2xy — 4x = -4\),
\(y^{2} — 2xy — 4x + 4 = 0\),
или
\((y — x)^{2} + (x — 2)^{2} = 0\).
Это возможно только если \(y — x = 0\) и \(x — 2 = 0\),
то есть \(x = y = 2\).

Рассмотрим четвертую систему:
\(
\begin{cases}
x^{2} — \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0 \\
y^{2} — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0
\end{cases}
\)
Сложим оба уравнения:
\(x^{2} — \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} + y^{2} — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0\),
\(x^{2} + y^{2} — \frac{2}{3}(x + y) + \frac{2}{9} = 0\).
Попробуем привести к виду полного квадрата:
\((x — \frac{1}{3})^{2} + (y — \frac{1}{3})^{2} = 0\).
Это возможно только если оба слагаемых равны нулю:
\(x — \frac{1}{3} = 0\), \(y — \frac{1}{3} = 0\),
то есть \(x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}\).

Ответы:
1) \((2; -1)\), \((-1; t), t \in \mathbb{R}\)
2) \(\left(\frac{5}{3}; -\frac{1}{3}\right)\), \((-1; -1)\), \((1; 1)\), \(\left(\frac{5}{3}; \frac{1}{3}\right)\)
3) \((2; 2)\)
4) \(\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)\)