ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(3x^2 + 3y^2 — 11x — 7y + 10 = 0, x^2 + y^2 — 4x — 3y + 5 = 0\);
2) \(x^3 + 2x^2y + xy^2 — x — y = 2, y^3 + 2xy^2 + x^2y + x + y = 6\);
3) \(x^2 + y + 1 = -y, x^2 + y + 1 = -x\);
4) \(x^3 — 3x^2y + 3xy^2 = -1, y^3 + y — x = 1\).

1) \(\begin{cases} 3x^2 + 3y^2 — 11x — 7y + 10 = 0 \\ x^2 + y^2 — 4x — 3y + 5 = 0 \end{cases}\) \( | \cdot 3’\)

\(3x^2 + 3y^2 — 11x — 7y + 10 = 0\)

\(3x^2 + 3y^2 — 12x — 9y + 15 = 0\) \( — \)

\(x + 2y — 5 = 0\)

\(x = 5 — 2y\);

Из второго уравнения:

\((5 — 2y)^2 + y^2 — 4(5 — 2y) — 3y + 5 = 0\);

\(25 — 20y + 4y^2 + y^2 — 20 + 8y — 3y + 5 = 0\);

\(5y^2 — 15y + 10 = 0\) \( | : 5\);

\(y^2 — 3y + 2 = 0\);

\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда:

\(y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\);

\(x_1 = 5 — 2 \cdot 1 = 3\) и \(x_2 = 5 — 2 \cdot 2 = 1\);

Ответ: \((3; 1); (1; 2)\).

2) \(\begin{cases} x^3 + 2x^2y + xy^2 — x — y = 2 \\ y^3 + 2xy^2 + x^2y + x + y = 6 \end{cases}\) \(+\);

\(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 8\);

\((x + y)^3 = 8\);

\(x + y = 2\);

\(y = 2 — x\);

Из первого уравнения:

\(x^3 + 2x^2(2 — x) + x(2 — x)^2 — x — (2 — x) = 2\);

\(x^3 + 4x^2 — 2x^3 + 4x — 4x^2 + x^3 — x — 2 + x = 2\);

\(4x = 4\);

\(x = 1\);

\(y = 2 — 1 = 1\);

Ответ: \((1; 1)\).

4) \(\begin{cases} x^3 + 3x^2y + 3xy^2 = 1 \\ y^3 + x + y = 1 \end{cases} +;\)

\(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + x + y = 2;\)

\((x + y)^3 + (x + y) = 2;\)

Очевидно, что \((x + y) \in \mathbb{N}\), значит:

\((x + y)((x + y)^2 + 1) = 2;\)

\(x + y = 1, (x + y)^2 + 1 = 2;\)

\(x = 1 — y;\)

Из второго уравнения:

\(y^3 + 1 = 1;\)

\(y^3 = 0;\)

\(y = 0;\)

\(x = 1 — 0 = 1;\)

Ответ: \((1; 0)\).

Рассмотрим подробно решение первой системы уравнений. Запишем систему:
\(\begin{cases} 3x^{2} + 3y^{2} — 11x — 7y + 10 = 0 \\ x^{2} + y^{2} — 4x — 3y + 5 = 0 \end{cases}\). Для удобства умножим второе уравнение на 3: \(3(x^{2} + y^{2} — 4x — 3y + 5) = 3x^{2} + 3y^{2} — 12x — 9y + 15 = 0\). Теперь вычтем из первого уравнения полученное: \(3x^{2} + 3y^{2} — 11x — 7y + 10 — (3x^{2} + 3y^{2} — 12x — 9y + 15) = 0\). Раскроем скобки: \(3x^{2} + 3y^{2} — 11x — 7y + 10 — 3x^{2} — 3y^{2} + 12x + 9y — 15 = 0\), отсюда \(x + 2y — 5 = 0\). Получили линейную связь между \(x\) и \(y\): \(x = 5 — 2y\).

Подставим найденное выражение для \(x\) во второе исходное уравнение. Получаем: \((5 — 2y)^{2} + y^{2} — 4(5 — 2y) — 3y + 5 = 0\). Раскроем скобки: \((5 — 2y)^{2} = 25 — 20y + 4y^{2}\), и \( -4(5 — 2y) = -20 + 8y \). Соберём всё вместе: \(25 — 20y + 4y^{2} + y^{2} — 20 + 8y — 3y + 5 = 0\). Приведём подобные: \(25 — 20y + 4y^{2} + y^{2} — 20 + 8y — 3y + 5 = 0\) — сгруппируем: \(4y^{2} + y^{2} = 5y^{2}\), \(-20y + 8y — 3y = -15y\), \(25 — 20 + 5 = 10\). Получаем: \(5y^{2} — 15y + 10 = 0\). Разделим обе части на 5: \(y^{2} — 3y + 2 = 0\).

Решим квадратное уравнение \(y^{2} — 3y + 2 = 0\) через дискриминант: \(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\). Корни по формуле: \(y_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(y_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\). Теперь найдём соответствующие значения \(x\) по формуле \(x = 5 — 2y\): если \(y = 1\), то \(x = 5 — 2 \cdot 1 = 3\); если \(y = 2\), то \(x = 5 — 2 \cdot 2 = 1\). Таким образом, система имеет два решения: \((3; 1)\) и \((1; 2)\).

Перейдём ко второй системе: \(\begin{cases} x^{3} + 2x^{2}y + xy^{2} — x — y = 2 \\ y^{3} + 2xy^{2} + x^{2}y + x + y = 6 \end{cases}\). Сложим уравнения: \(x^{3} + 2x^{2}y + xy^{2} — x — y + y^{3} + 2xy^{2} + x^{2}y + x + y = 2 + 6\). Приведём подобные: \(x^{3} + y^{3} + 2x^{2}y + x^{2}y + xy^{2} + 2xy^{2}\). Получаем: \(x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} = 8\). Заметим, что это формула куба суммы: \((x + y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}\), значит \(x + y = 2\), так как \(2^{3} = 8\).

Теперь выразим \(y\) через \(x\): \(y = 2 — x\). Подставим в первое уравнение: \(x^{3} + 2x^{2}(2 — x) + x(2 — x)^{2} — x — (2 — x) = 2\). Раскроем скобки: \(2x^{2}(2 — x) = 4x^{2} — 2x^{3}\), \(x(2 — x)^{2} = x(4 — 4x + x^{2}) = 4x — 4x^{2} + x^{3}\), \( — (2 — x) = -2 + x\). Соберём: \(x^{3} + 4x^{2} — 2x^{3} + 4x — 4x^{2} + x^{3} — x — 2 + x = 2\). Сгруппируем: \(x^{3} — 2x^{3} + x^{3} = 0\), \(4x^{2} — 4x^{2} = 0\), \(4x — x + x = 4x\), \( -2 = -2\). Получаем: \(4x — 2 = 2\), отсюда \(4x = 4\), значит \(x = 1\), а \(y = 2 — 1 = 1\). Ответ: \((1; 1)\).

Рассмотрим четвёртую систему: \(\begin{cases} x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} = 1 \\ y^{3} + x + y = 1 \end{cases}\). Сложим: \(x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} + x + y = 2\). Заметим, что \(x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} = (x + y)^{3}\). Получаем: \((x + y)^{3} + x + y = 2\). Обозначим \(s = x + y\), тогда \(s^{3} + s = 2\). Явно видно, что \(s\) — натуральное число, так как сумма целых чисел. Проверим \(s = 1\): \(1 + 1 = 2\) — подходит; \(s = 2\): \(8 + 2 = 10 \neq 2\). Значит, \(x + y = 1\). Тогда \(x = 1 — y\).

Подставим в второе уравнение: \(y^{3} + x + y = 1\), но \(x = 1 — y\), получаем \(y^{3} + 1 — y + y = 1\), то есть \(y^{3} + 1 = 1\), отсюда \(y^{3} = 0\), значит \(y = 0\), и \(x = 1 — 0 = 1\). Ответ: \((1; 0)\).