ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(2x^2 — 5xy + 3x — 2y = 2, 5xy — 2x^2 + 7x — 8y = -22\);
2) \((x^2 + y)^2(x^2 — xy + y) = 4, x^2 + y^2 + xy = 12\);
3) \(4x + 3xy — x^2 = 16\);
4) \(x^3 — 3xy + 3y^2 = -1, y^3 + x + y = 1\).

1)
\(\begin{cases} 2x^2 — 5xy + 3x — 2y = 2 \\ 5xy — 2x^2 + 7x — 8y = -22 \end{cases} + ;\)
\(10x — 10y = -20;\)
\(x — y = -2;\)
\(y = x + 2;\)
Из первого уравнения:
\(2x^2 — 5x(x + 2) + 3x — 2(x + 2) = 2;\)
\(2x^2 — 5x^2 — 10x + 3x — 2x — 4 = 2;\)
\(3x^2 + 9x + 6 = 0 \quad | :3;\)
\(x^2 + 3x + 2 = 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;\)
\(y_1 = -2 + 2 = 0\) и \(y_2 = -1 + 2 = 1;\)
Ответ: \((-2; 0);\) \((-1; 1).\)

2)
\(\begin{cases} (x^2 + y)^2(x^2 — xy + y) = 4 \\ (x^2 + y)^2(x^2 + xy + y) = 12 \end{cases} + ;\)
\((x^2 + y)^2(2x^2 + 2y) = 16;\)
\((x^2 + y)^3 — 2(x^2 + y) = 16;\)
\((x^2 + y)^3 = 8;\)
\(x^2 + y = 2;\)
\(y = 2 — x^2;\)
Из первого уравнения:
\(2^2 \cdot (x^2 — x(2 — x^2) + (2 — x^2)) = 4;\)
\(4(x^2 — 2x + x^3 + 2 — x^2) = 4;\)
\(x^3 — 2x + 2 = 1;\)
\(x^3 — x — x + 1 = 0;\)
\(x(x — 1)(x + 1) — (x — 1) = 0;\)
\((x — 1)(x^2 + x — 1) = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5,\) тогда:
\(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2};\)
\(y_1 = 2 — 1^2 = 1;\)
\(y_2 = 2 — \left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{8 — 1 — 2\sqrt{5} — 5}{4} = \frac{2 — 2\sqrt{5}}{4} = \frac{1 — \sqrt{5}}{2};\)
\(y_3 = 2 — \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{8 — 5 + 2\sqrt{5} — 1}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};\)
Ответ: \((1; 1);\)
\(\left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right);\)
\(\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right).\)

3)
\(\begin{cases} y^2 + x + 1 = -y \\ x^2 + y + 1 = -x \end{cases} + ;\)
\(y^2 + x + 1 + x^2 + y + 1 = -y — x;\)
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 0;\)
\((x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 0;\)
\(x + 1 = 0, \quad y + 1 = 0;\)
\(x = -1, \quad y = -1;\)
Ответ: \((-1; -1).\)

4)
\(\begin{cases} x^3 — 3x^2y + 3xy^2 = -1 \\ y^3 + y — x = 1 \end{cases} -;\)
\(x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3 — y + x = -2;\)
\((x — y)^3 + (x — y) = -2;\)
Очевидно, что \((x — y) \in \mathbb{Z},\) значит:
\((x — y)((x — y)^2 + 1) = -2;\)
\(x — y = -1,\) \((x — y)^2 + 1 = 2;\)
\(x = y — 1;\)
Из второго уравнения:
\(y^3 — (-1) = 1;\)
\(y^3 = 0;\)
\(y = 0;\)
\(x = 0 — 1 = -1;\)
Ответ: \((-1; 0).\)

Рассмотрим первую систему уравнений: \(\begin{cases} 2x^{2} — 5xy + 3x — 2y = 2 \\ 5xy — 2x^{2} + 7x — 8y = -22 \end{cases}\). К этим уравнениям добавлено два выражения: \(10x — 10y = -20\) и \(x — y = -2\). Из последнего равенства сразу находим зависимость между переменными: \(y = x + 2\). Подставляем это выражение для \(y\) в первое уравнение: \(2x^{2} — 5x(x + 2) + 3x — 2(x + 2) = 2\). Раскрываем скобки: \(2x^{2} — 5x^{2} — 10x + 3x — 2x — 4 = 2\). Приводим подобные: \(2x^{2} — 5x^{2} = -3x^{2}\), \(-10x + 3x — 2x = -9x\), получаем \(-3x^{2} — 9x — 4 = 2\). Переносим все в одну сторону: \(-3x^{2} — 9x — 6 = 0\), затем домножаем на \(-1\) для удобства: \(3x^{2} + 9x + 6 = 0\). Делим обе части на 3: \(x^{2} + 3x + 2 = 0\).

Это квадратное уравнение. Находим дискриминант: \(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\). Корни по формуле: \(x_{1} = \frac{-3 — 1}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). Теперь вычисляем значения \(y\) для каждого \(x\): если \(x = -2\), то \(y = -2 + 2 = 0\); если \(x = -1\), то \(y = -1 + 2 = 1\). Таким образом, система имеет два решения: \((-2; 0)\) и \((-1; 1)\).

Переходим ко второй системе: \(\begin{cases} (x^{2} + y)^{2}(x^{2} — xy + y) = 4 \\ (x^{2} + y)^{2}(x^{2} + xy + y) = 12 \end{cases}\). Заметим, что обе левые части содержат общий множитель \((x^{2} + y)^{2}\). Сложим оба уравнения: \((x^{2} + y)^{2}(x^{2} — xy + y + x^{2} + xy + y) = 4 + 12\), получаем \((x^{2} + y)^{2}(2x^{2} + 2y) = 16\), или \((x^{2} + y)^{2} \cdot 2(x^{2} + y) = 16\). Пусть \(t = x^{2} + y\), тогда \(2t^{3} = 16\), отсюда \(t^{3} = 8\), \(t = 2\). Значит, \(x^{2} + y = 2\), откуда \(y = 2 — x^{2}\).

Подставляем найденное выражение для \(y\) в первое уравнение: \((2)^{2}(x^{2} — x(2 — x^{2}) + (2 — x^{2})) = 4\). Раскрываем скобки: \(4(x^{2} — 2x + x^{3} + 2 — x^{2}) = 4\). Приводим подобные: \(x^{2} — x^{2} = 0\), остается \(4(x^{3} — 2x + 2) = 4\). Делим обе части на 4: \(x^{3} — 2x + 2 = 1\), отсюда \(x^{3} — 2x + 1 = 0\). Преобразуем: \(x^{3} — x — x + 1 = 0\), то есть \(x(x — 1)(x + 1) — (x — 1) = 0\). Выносим \(x — 1\) за скобки: \((x — 1)(x^{2} + x — 1) = 0\). Имеем два случая: либо \(x — 1 = 0\), то есть \(x = 1\), либо \(x^{2} + x — 1 = 0\). Для второго случая дискриминант \(D = 1^{2} + 4 \cdot 1 = 5\), корни: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).

Теперь находим соответствующие значения \(y\): если \(x = 1\), то \(y = 2 — 1^{2} = 1\); если \(x = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}\), то \(y = 2 — \left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{2}\). Возводим в квадрат: \(\left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \right)^{2} = \frac{(-1 — \sqrt{5})^{2}}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\). Тогда \(y = 2 — \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 — 3 — \sqrt{5}}{2} = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}\). Аналогично для \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\): \(\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{2} = \frac{1 — 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 — 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 — \sqrt{5}}{2}\), тогда \(y = 2 — \frac{3 — \sqrt{5}}{2} = \frac{4 — 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Ответы для второй системы: \((1; 1)\), \(\left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)\), \(\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)\).

Третья система: \(\begin{cases} y^{2} + x + 1 = -y \\ x^{2} + y + 1 = -x \end{cases}\). Сложим обе части: \(y^{2} + x + 1 + x^{2} + y + 1 = -y — x\), переносим все в одну сторону: \(y^{2} + x + 1 + x^{2} + y + 1 + y + x = 0\), то есть \(x^{2} + 2x + 1 + y^{2} + 2y + 1 = 0\). Заметим, что это суммы квадратов: \((x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 0\). Такое возможно только если оба выражения равны нулю: \(x + 1 = 0\), \(y + 1 = 0\), отсюда \(x = -1\), \(y = -1\).

Четвертая система: \(\begin{cases} x^{3} — 3x^{2}y + 3xy^{2} = -1 \\ y^{3} + y — x = 1 \end{cases}\). Перепишем первое уравнение: \(x^{3} — 3x^{2}y + 3xy^{2} — y^{3} — y + x = -2\). Заметим, что \(x^{3} — 3x^{2}y + 3xy^{2} — y^{3}\) — это формула бинома Ньютона: \((x — y)^{3}\). Тогда \( (x — y)^{3} + (x — y) = -2 \). Пусть \(t = x — y\), тогда \(t^{3} + t = -2\), или \(t(t^{2} + 1) = -2\).

Рассмотрим целые значения \(t\), так как \(t \in \mathbb{Z}\). Очевидно, что \(t = -1\) подходит, так как \((-1)((-1)^{2} + 1) = -1(1 + 1) = -2\). Следовательно, \(x — y = -1\), то есть \(x = y — 1\). Подставляем в второе уравнение: \(y^{3} + y — (y — 1) = 1\), \(y^{3} + 1 = 1\), \(y^{3} = 0\), \(y = 0\). Тогда \(x = 0 — 1 = -1\).

Ответы: первая система — \((-2; 0)\), \((-1; 1)\); вторая система — \((1; 1)\), \(\left( \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)\), \(\left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)\); третья система — \((-1; -1)\); четвертая система — \((-1; 0)\).