ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2y^5 = 1, x^5y^2 = -1\);
2) \((x — y)^2(x + 2y) = 4, (x — y)^5(x + 2y) = 16\);
3) \(x^3y + x^2y^2 = 6, x^2y^2 + xy^3 = 12\);
4) \(2xy + 6x — y^2 — 3y = 14, 2x^2 + 4x — xy — 2y = 35\);
5) \(x^2 + 4xy + 3y^2 — x — 3y = 24, 2x^2 + xy — y^2 — 2x + y = 6\);
6) \(xy = 40, y^3 + xy = 10\).

1)
\(
\begin{cases}
x^2y^5 = 1 \\
x^5y^2 = -1
\end{cases}
\)
\(y^3x^3 = -1;\)
\(y^3 = -x^3;\)
\(y = -x;\)
Из первого уравнения:
\(x^2 \cdot (-x)^5 = 1;\)
\(x^7 = -1;\)
\(x = -1,\ y = 1;\)
Ответ: \((-1;\ 1)\)
2)
\(
\begin{cases}
(x-y)^2(x+2y) = 4 \\
(x-y)^4(x+2y)^5 = 16
\end{cases}
\)
\(\frac{1}{(x-y)^2(x+2y)^4} = \frac{1}{4};\)
Умножим на первое уравнение:
\(\frac{1}{(x+2y)^3} = 1;\)
\(x+2y = 1;\)
\(x = 1-2y;\)
Из первого уравнения:
\((1-2y-y)^2 \cdot 1 = 4;\)
\((1-3y)^2 = 4;\)
\(1-6y+9y^2 = 4;\)
\(9y^2-6y-3 = 0\ |\ :3;\)
\(3y^2-2y-1=0;\)
\(D = 2^2+4\cdot 3 = 4+12=16,\) тогда:
\(y_1 = \frac{2-4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\)
и
\(y_2 = \frac{2+4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;\)
\(x_1 = 1-2 \cdot (-\frac{1}{3}) = 1+\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\)
и
\(x_2 = 1-2 \cdot 1 = -1;\)
Ответ: \((\frac{5}{3};-\frac{1}{3});\ (-1;\ 1)\)

3)
\(
\begin{cases}
x^3y + x^2y^2 = 6 \\
x^2y^2 + xy^3 = 12
\end{cases}
\)
\(x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = 18;\)
\(xy(x^2+2xy+y^2) = 18;\)
\(xy(x+y)^2 = 18;\)
Разность уравнений:
\(x^3y — xy^3 = -6;\)
\(xy(x^2-y^2) = -6;\)
\(xy(x-y)(x+y) = -6;\)
\(xy(x+y)^2 \cdot \frac{x-y}{x+y} = -6;\)
\(18 \cdot \frac{x-y}{x+y} = -6;\)
\(\frac{x-y}{x+y} = -\frac{1}{3};\)
\(3(x-y) = -(x+y);\)
\(3x-3y = -x-y;\)
\(4x = 2y;\)
\(y = 2x;\)
Из суммы уравнений:
\(x \cdot 2x(x+2x)^2 = 18;\)
\(2x^2 \cdot 9x^2 = 18;\)
\(x^4 = 1;\)
\(x = \pm 1,\ y = \pm 2;\)
Ответ: \((-1;\ -2);\ (1;\ 2)\)

4)
\(
\begin{cases}
2xy + 6x — y^2 — 3y = 14 \\
2x^2 + 4x — xy — 2y = 35
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
2x(y+3)-y(y+3) = 14 \\
2x(x+2)-y(x+2) = 35
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
(2x-y)(y+3) = 14 \\
(2x-y)(x+2) = 35
\end{cases}
\)
\(\frac{y+3}{x+2} = \frac{14}{35};\)
\(35(y+3) = 14(x+2);\)
\(5(y+3) = 2(x+2);\)
\(5y + 15 = 2x + 4;\)
\(2x = 5y + 11;\)
\(x = \frac{5y+11}{2};\)
Из первого уравнения:
\(2y \cdot \frac{5y+11}{2} + 6 \cdot \frac{5y+11}{2} — y^2 — 3y = 14;\)
\(5y^2 + 11y + 15y + 33 — y^2 — 3y = 14;\)
\(4y^2 + 23y + 19 = 0;\)
\(D = 23^2 — 4 \cdot 4 \cdot 19 = 529 — 304 = 225,\) тогда:
\(y_1 = \frac{-23-15}{2 \cdot 4} = \frac{-38}{8} = -\frac{19}{4};\)
\(y_2 = \frac{-23+15}{8} = -1;\)
\(x_1 = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{19}{4}) + \frac{11}{2} = \frac{-95}{8} + \frac{44}{8} = \frac{-51}{8} = -6\frac{3}{8};\)
\(x_2 = 5 \cdot (-1) + 11 = -5+11=6;\)
Ответ: \((6;\ -1);\ (-6\frac{3}{8};\ -\frac{19}{4})\)

5)
\(
\begin{cases}
x^2 + 4xy + 3y^2 — x — 3y = 24 \\
2x^2 + xy — y^2 — 2x + y = 6
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
x(x+y-1)+3y(y+x-1)=24 \\
2x(x+y-1)-y(y+x-1)=6
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
(x+3y)(x+y-1)=24 \\
(2x-y)(x+y-1)=6
\end{cases}
\)
\(x+3y=4;\)
\(2x-y=x+3y=4(2x-y);\)
\(x+3y=8x-4y;\)
\(7y=7x;\)
\(x=y;\)
Из второго уравнения:
\((2x-x)(x+x-1)=6;\)
\(x(2x-1)=6;\)
\(2x^2-x-6=0;\)
\(D=1^2+4 \cdot 2 \cdot 6=1+48=49,\) тогда:
\(x_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}\)
и
\(x_2=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2;\)
\(y_1=-\frac{3}{2}\)
и
\(y_2=2;\)
Ответ: \((-\frac{3}{2};-\frac{3}{2});\ (2;\ 2)\)

6)
\(
\begin{cases}
x^3/y + xy = 40 \\
y^3/x + xy = 10
\end{cases}
\)
\(x^3/y + 2xy + y^3/x = 50\ |\cdot(xy);\)
\(x^4 + 2(xy)^2 + y^4 = 50xy;\)
\((x^2+y^2)^2 = 50xy;\)
\((x^2+y^2)^2/xy = 50;\)
Разность уравнений:
\(x^3/y — y^3/x = 30;\)
\(x^4-y^4 = 30xy;\)
\((x^2+y^2)(x^2-y^2)=30xy;\)
\((x^2+y^2)^2 \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 30xy;\)
\(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{3}{5};\)
\(3(x^2+y^2)=5(x^2-y^2);\)
\(3x^2+3y^2=5x^2-5y^2;\)
\(8y^2=2x^2;\)
\(x^2=4y^2;\)
\(x=\pm2y;\)
Из суммы уравнений:
\((x^2+y^2)^2=50xy;\)
\((4y^2+y^2)^2=50y(\pm2y);\)
\(25y^4=\pm100y^2;\)
\(25y^4=100y^2,\ x\ne-2y;\)
\(y^2=4;\)
\(y^2=\pm\sqrt{4}=\pm2;\)
\(x=2\cdot(\pm2)=\pm4;\)
Ответ: \((-4;\ -2);\ (4;\ 2)\)

Для решения системы уравнений, представленной в задаче 5, я подробно разберу каждый шаг, чтобы вы могли полностью понять процесс. Система состоит из двух уравнений с двумя переменными \(x\) и \(y\), и наша цель — найти все возможные пары значений, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Давайте начнём с записи самой системы: первое уравнение — это \(x^2 + 4xy + 3y^2 — x — 3y = 24\), а второе — \(2x^2 + xy — y^2 — 2x + y = 6\). Эти уравнения выглядят сложными из-за наличия квадратичных членов, но мы можем упростить их, перегруппировав слагаемые так, чтобы выделить общие множители или заметить возможность факторизации. Такой подход часто помогает преобразовать систему в более простую форму, где можно ввести новые переменные или заметить взаимосвязь между \(x\) и \(y\).

Итак, рассмотрим первое уравнение \(x^2 + 4xy + 3y^2 — x — 3y = 24\). Если внимательно посмотреть на слагаемые, можно заметить, что \(x^2 + 4xy + 3y^2\) напоминает квадрат суммы, но с дополнительными линейными членами \(-x — 3y\). Попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Перепишем выражение как \(x(x + 4y — 1) + 3y(y + x — 1)\), хотя это пока не даёт идеальной факторизации. Давайте попробуем представить его как \((x + 3y)(x + y — 1)\), проверим это: если умножить \((x + 3y)\) на \((x + y — 1)\), получим \(x^2 + xy — x + 3xy + 3y^2 — 3y = x^2 + 4xy + 3y^2 — x — 3y\), что точно совпадает с левой частью первого уравнения. Таким образом, первое уравнение можно записать как \((x + 3y)(x + y — 1) = 24\). Теперь обратимся ко второму уравнению \(2x^2 + xy — y^2 — 2x + y = 6\). Попробуем аналогично сгруппировать слагаемые: заметим, что \(2x^2 + xy — y^2 = (2x — y)(x + y)\), но с учётом линейных членов \(-2x + y\), можно записать как \((2x — y)(x + y — 1)\). Проверим: \((2x — y)(x + y — 1) = 2x^2 + 2xy — 2x — xy — y^2 + y =\)
\(= 2x^2 + xy — y^2 — 2x + y\), что совпадает с левой частью. Таким образом, второе уравнение преобразуется в \((2x — y)(x + y — 1) = 6\). Теперь наша система выглядит как \((x + 3y)(x + y — 1) = 24\) и \((2x — y)(x + y — 1) = 6\), что уже значительно проще, так как оба уравнения содержат общий множитель \((x + y — 1)\).

Далее, поскольку в обоих уравнениях есть общий множитель \((x + y — 1)\), можно ввести новые переменные для упрощения. Пусть \(a = x + y — 1\), а затем рассмотрим выражения \(x + 3y\) и \(2x — y\). Однако, чтобы не усложнять, заметим, что \(x + 3y\) и \(2x — y\) можно связать через значения 24 и 6, если разделить первое уравнение на второе. Но сначала попробуем выразить соотношение между \(x + 3y\) и \(2x — y\). Если \((x + 3y)(x + y — 1) = 24\) и \((2x — y)(x + y — 1) = 6\), то, разделив первое на второе, получим \(\frac{x + 3y}{2x — y} = \frac{24}{6} = 4\). Таким образом, \(\frac{x + 3y}{2x — y} = 4\), что означает \(x + 3y = 4(2x — y)\). Раскроем это равенство: \(x + 3y = 8x — 4y\), перенесём все члены в одну сторону: \(x + 3y — 8x + 4y = 0\), что даёт \(-7x + 7y = 0\), или \(7y = 7x\), откуда следует \(x = y\). Это важный результат, который говорит, что \(x\) и \(y\) равны, и теперь мы можем подставить это в любое из уравнений системы, чтобы найти конкретные значения.

Подставим \(x = y\) во второе преобразованное уравнение \((2x — y)(x + y — 1) = 6\). Поскольку \(x = y\), то \(2x — y = 2x — x = x\), а \(x + y — 1 = x + x — 1 = 2x — 1\). Таким образом, уравнение становится \(x(2x — 1) = 6\). Раскроем это: \(2x^2 — x — 6 = 0\). Это квадратичное уравнение, и мы можем найти его корни с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\). Тогда корни равны \(x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{1 — 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\), второй корень: \(x_2 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2\). Поскольку \(x = y\), то для первого корня \(y_1 = -\frac{3}{2}\), а для второго \(y_2 = 2\). Таким образом, у нас есть две возможные пары решений: \((x, y) = (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2})\) и \((x, y) = (2, 2)\). Теперь важно проверить, удовлетворяют ли эти пары исходным уравнениям, чтобы убедиться в правильности решения.

Проверим первую пару \((x, y) = (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2})\). Подставим в первое уравнение: \((-\frac{3}{2})^2 + 4 \cdot (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + 3 \cdot (-\frac{3}{2})^2 — (-\frac{3}{2}) — 3 \cdot (-\frac{3}{2}) =\)
\(= \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{9}{4} + 3 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + \frac{9}{2} =\)
\(= \frac{9}{4} + 9 + \frac{27}{4} + \frac{6}{4} + \frac{18}{4} = \frac{9 + 36 + 27 + 6 + 18}{4} = \frac{96}{4} = 24\), что совпадает с правой частью.
Теперь второе уравнение: \(2 \cdot (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) — (-\frac{3}{2})^2 — 2 \cdot (-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{9}{4}-\)
\( — \frac{9}{4} + 3 — \frac{3}{2} = \frac{18}{4} + \frac{9}{4} — \frac{9}{4} + \frac{12}{4} — \frac{6}{4} = \frac{18 + 9 — 9 + 12 — 6}{4} = \frac{24}{4} = 6\), что тоже верно.
Теперь проверим вторую пару \((2, 2)\). Первое уравнение: \(2^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 — 2 — 3 \cdot 2 = 4 + 16 + 12 — 2 — 6 = 32 — 8 = 24\), верно. Второе уравнение: \(2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 — 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 8 + 4 — 4 — 4 + 2 = 12 — 8 + 2 = 6\), тоже верно. Таким образом, обе пары являются решениями.

В заключение, мы нашли, что система уравнений имеет два решения: \((x, y) = (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2})\) и \((x, y) = (2, 2)\). Этот результат был получен путём факторизации уравнений, установления связи между \(x\) и \(y\), а затем решения квадратичного уравнения. Важно отметить, что проверка решений на последнем этапе необходима, так как в процессе преобразований могут возникнуть посторонние корни, которые не удовлетворяют исходной системе. В данном случае оба решения оказались верными, и мы можем быть уверены в правильности ответа. Если у вас есть дополнительные вопросы по какому-либо шагу или вы хотите разобрать другие задачи из списка, я готов помочь с этим.