ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^8y^6 = 64, x^8y^8 = 256\);
2) \((x + y)(x — 2y)^4 = 81, (x + y)^6(x — 2y)^3 = 27\);
3) \(xy^3 + x^3y = -10, x^2y^4 + x^4y^2 = 20\);
4) \(xy + 24 — \frac{4}{3}, xy — 6 = \frac{4}{y}\);
5) \(x^2 + 3xy + x + 3y = 8, 3y^2 + xy — 2x — 6y = -4\);
6) \(x^2 + xy — 2y^2 + x + 2y = -7, x^2 — 3xy + 2y^2 + x — 2y = 5\);
7) \(2x^2 + xy — 4x — 2y = 5, x^2 — 3xy — 2x + 6y = 6\).

1) Для системы уравнений \(x^8 y^6 = 64\) и \(x^6 y^8 = 256\), из соотношения \(y = \pm 2x\) подставляем в первое уравнение: \(x^8 (\pm 2x)^6 = 64\), что дает \(64x^{14} = 64\), \(x^{14} = 1\), \(x = \pm 1\), \(y = \pm 2\). Ответ: \((-1, -2)\), \((-1, 2)\), \((1, -2)\), \((1, 2)\).

2) Для \((x + y)(x — 2y)^4 = 81\) и \((x + y)(x — 2y)^3 = 27\), делим уравнения: \((x — 2y) = 3\), откуда \(x = 3 + 2y\). Подставляем в первое: \((3 + 3y) \cdot 81 = 81\), \(3 + 3y = 1\), \(y = -\frac{2}{3}\), \(x = \frac{5}{3}\). Ответ: \(\left(\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)\).

3) Для \(x y^3 + x^3 y = -10\) и \(x^2 y^4 + x^4 y^2 = 20\), замечаем \(x y = -2\), откуда \(y = -\frac{2}{x}\). Подставляем в первое: \(-2 — 2x^2 = -10\), решаем \(x^4 — 5x^2 + 4 = 0\), \(x^2 = 1\) или \(4\), \(x = \pm 1, \pm 2\), \(y = -2, 2, -1, 1\). Ответ: \((-1, 2)\), \((1, -2)\), \((-2, 1)\), \((2, -1)\).

4) Для \(x^2 + 3x y + x + 3y = 8\) и \(3y x — 2x — 6y = -4\), преобразуем: \((x + 1)(x + 3y) = 8\), \((y — 2)(x + 3y) = -4\). Делим: \(\frac{x + 1}{y — 2} = -2\), \(x = 3 — 2y\). Подставляем: \(y^2 + y — 2 = 0\), \(y = -2, 1\), \(x = 7, 1\). Ответ: \((7, -2)\), \((1, 1)\).

5) Для \(x^2 + x y — 2y^2 + x + 2y = -7\) и \(x^2 — 3x y + 2y^2 + x — 2y = 5\), преобразуем: \((x + 2y)(x — y + 1) = -7\), \((x — 2y)(x — y + 1) = 5\). Делим: \(\frac{x + 2y}{x — 2y} = -\frac{7}{5}\), \(y = 3x\). Подставляем: \(2x^2 — x — 1 = 0\), \(x = -\frac{1}{2}, 1\), \(y = -\frac{3}{2}, 3\). Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)\), \((1, 3)\).

6) Для \(2x^2 + x y — 4x — 2y = 5\) и \(x^2 — 3x y — 2x + 6y = 6\), преобразуем: \((x — 2)(2x + y) = 5\), \((x — 2)(x — 3y) = 6\). Делим: \(\frac{2x + y}{x — 3y} = \frac{5}{6}\), \(x = -3y\). Подставляем: \(3y^2 + 2y — 1 = 0\), \(y = -1, \frac{1}{3}\), \(x = 3, -1\). Ответ: \((3, -1)\), \(\left(-1, \frac{1}{3}\right)\).

1) \(x^8 y^6 = 64\) (\(x^6 y^8 = 256\)); \(x^2 = \frac{1}{2} — 4 y^2 = 4x^2\); \(y = \pm 2x\); Из первого уравнения: \(x^8 \cdot (\pm 2x)^6 = 64\); \(64x^{14} = 64\); \(x^{14} = 1\); \(x = \pm 1\), \(y = \pm 2\); OTBET: \((-1; -2)\); \((-1; 2)\); \((1; -2)\); \((1; 2)\).

2) \((x + y)(x — 2y)^4 = 81\) (\((x + y)(x — 2y)^3 = 27\)) (\(x + y)^7 (x — 2y)^7 = 81 \cdot 27\); \((x + y)(x — 2y) = 3\); Разделим на первое уравнение: \(\frac{(x + y)(x — 2y)^4}{(x + y)(x — 2y)^3} = \frac{81}{27}\), \(x — 2y = 3\); \(x = 3 + 2y\); Из первого уравнения: \((3 + 2y + y) \cdot 3^4 = 81\); \(81(3 + 3y) = 81\); \(3 + 3y = 1\); \(3y = -2\); \(y = -\frac{2}{3}\); \(x = 3 + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 3 — \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\); Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; -\frac{2}{3}\right)\).

3) \((x y^3 + x^3 y = -10)\) (\(x^2 y^4 + x^4 y^2 = 20\)); \((x y (y^2 + x^2) = -10)\) (\(x^2 y^2 (y^2 + x^2) = 20\)); \(x y = -2\); \(\frac{x^2 y^2 (y^2 + x^2)}{x y (y^2 + x^2)} = \frac{20}{-10}\); \(x y = -2\); \(y = -\frac{2}{x}\); Из первого уравнения: \(x \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) + x^3 \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) = -10\); \(-2 — 2x^2 = -10\); \(x^4 — 5x^2 + 4 = 0\); \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), тогда: \(x^2 = \frac{5 \pm 3}{2}\); \(x^2 = \frac{5 — 3}{2} = 1\), \(x = \pm \sqrt{1} = \pm 1\); \(x^2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\), \(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\); \(y_1 = -\frac{2}{1} = -2\), \(y_2 = -\frac{2}{-1} = 2\), \(y_3 = -\frac{2}{2} = -1\), \(y_4 = -\frac{2}{-2} = 1\); OTBET: \((-1; 2)\); \((1; -2)\); \((-2; 1)\); \((2; -1)\).

4) \((x^2 + 3x y + x + 3y = 8)\) (\(3y x — 2x — 6y = -4\)); \((x(x + 3y) + (x + 3y) = 8)\) (\(y(3y + x) — 2(x + 3y) = -4\)); \(((x + 1)(x + 3y) = 8)\) (\((y — 2)(x + 3y) = -4\)); \(\frac{x + 1}{y — 2} = \frac{8}{-4} = -2\); \(x + 1 = -2(y — 2)\); \(x + 1 = 4 — 2y\); \(x = 3 — 2y\); Из второго уравнения: \(3y^2 + y(3 — 2y) — 2(3 — 2y) — 6y = -4\); \(3y^2 + 3y — 2y^2 — 6 + 4y — 6y = -4\); \(y^2 + y — 2 = 0\); \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда: \(y_1 = \frac{-1 \pm 3}{2}\); \(y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\); \(x_1 = 3 — 2 \cdot (-2) = 7\), \(x_2 = 3 — 2 \cdot 1 = 1\); OTBET: \((7; -2)\); \((1; 1)\).

5) \((x^2 + x y — 2y^2 + x + 2y = -7)\) (\(x^2 — 3x y + 2y^2 + x — 2y = 5\)); \((x(x — y + 1) + 2y(-y + x + 1) = -7)\) (\(x(x — y + 1) — 2y(-y + x + 1) = 5\)); \(((x + 2y)(x — y + 1) = -7)\) (\((x — 2y)(x — y + 1) = 5\)); \(\frac{x + 2y}{x — 2y} = \frac{-7}{5}\); \(-7(x — 2y) = 5(x + 2y)\); \(-7x + 14y = 5x + 10y\); \(-12x + 4y = 0\); \(4y = 12x\); \(y = 3x\); Из второго уравнения: \((x — 2 \cdot 3x)(x — 3x + 1) = 5\); \((-5x)(1 — 2x) = 5\); \(10x^2 — 5x — 5 = 0\); \(|:5\); \(2x^2 — x — 1 = 0\); \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда: \(x_1 = \frac{1 \pm 3}{4}\); \(x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1\); \(y_1 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}\), \(y_2 = 3 \cdot 1 = 3\); Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\right)\); \((1; 3)\).

6) \((2x^2 + x y — 4x — 2y = 5)\) (\(x^2 — 3x y — 2x + 6y = 6\)); \((x(2x + y) — 2(2x + y) = 5)\) (\(x(x — 2) — 3y(x — 2) = 6\)); \(((x — 2)(2x + y) = 5)\) (\((x — 2)(x — 3y) = 6\)); \(\frac{2x + y}{x — 3y} = \frac{5}{6}\); \(6(2x + y) = 5(x — 3y)\); \(12x + 6y = 5x — 15y\); \(7x = -21y\); \(x = -3y\); Из второго уравнения: \((-3y — 2)(-3y — 3y) = 6\); \((-3y — 2)(-6y) = 6\); \(6y(3y + 2) = 6\); \(18y^2 + 12y — 6 = 0\); \(|:6\); \(3y^2 + 2y — 1 = 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда: \(y_1 = \frac{-2 \pm 4}{6}\); \(y_1 = \frac{-2 — 4}{6} = -1\), \(y_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}\); \(x_1 = -3 \cdot (-1) = 3\), \(x_2 = -3 \cdot \frac{1}{3} = -1\); OTBET: \((3; -1)\); \(\left(-1; \frac{1}{3}\right)\).