ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(xy + 24 — \frac{4}{3}, xy — 6 = \frac{y^3}{x}\);
2) \(2y^5 = 4x^2y^3 — 9, xy = x^2y^3 — 6\).

1) Для системы уравнений \( xy + 24 = x^3 — y — 6 = 23 \): подставим \( xy = 8 \) из второго уравнения, получим \( y = \frac{8}{x} \). Из первого уравнения \( 8 + 24 = x^3 — y \), то есть \( 32 = x^3 — \frac{8}{x} \). Умножим на \( x \): \( 32x = x^4 — 8 \), откуда \( x^4 — 32x + 8 = 0 \). Решая, находим \( x = \pm 4 \), тогда \( y = \pm 2 \). Ответ: \((-4, -2)\), \((4, 2)\).

2) Для системы \( x^3 y^5 = 4x^2 y^3 — 9 \) и \( xy = x^2 y^3 — 6 \): обозначим \( z = xy^2 \), тогда из второго уравнения \( xy = z y \), а из первого после преобразований получим \( 2z^2 — 5z — 3 = 0 \). Дискриминант \( D = 25 + 24 = 49 \), корни \( z = -\frac{1}{2} \) и \( z = 3 \). Для \( z = -\frac{1}{2} \): \( x = -\frac{2}{y^2} \), подставляем в \( xy(xy^2 — 1) = 6 \), получаем \( y = \frac{1}{8} \), \( x = -32 \). Для \( z = 3 \): \( x = \frac{3}{y^2} \), подставляем, получаем \( y = 1 \), \( x = 3 \). Ответ: \((-32, \frac{1}{8})\), \((3, 1)\).

1) \( xy + 24 = x^3 — y — 6 = 23 \); \((xy + 24)(xy — 6) = x^2 y^2\); \((xy)^2 — 6xy + 24xy — 144 = (xy)^2\); \(18xy = 144\); \(xy = 8\); \(y = 2\);
Из первого уравнения:
\(8 \cdot 24 = x^3 — 2\);
\(8 \cdot x^4 \cdot 8’\);
\(32 = x^4\); \(x^4 = 256\); \(x = \pm 4\); \(y = \frac{8}{x} = \pm 2\); \(\pm 4\);
Ответ: \((-4; -2)\); \((4; 2)\).

2) \( x^3 y^5 = 4x^2 y^3 — 9 \) \((xy = x^2 y^3 — 6)\);
\( x^2 y^3 (xy^2 — 4) = -9 \) \((xy(xy^2 — 1) = 6)\); \(xy^2 (x^2 — 4)\);
\(3 \cdot 1 \cdot xy^2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2’\);
\(2xy^2 (xy^2 — 4) = -3(xy^2 — 1)\); \(2(xy^2)^2 — 8xy^2 = 3 — 3xy^2\); \(2(xy^2)^2 — 5xy^2 — 3 = 0\); \(D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49\), тогда: \((xy^2)_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\), \(x_1 = -\frac{2}{y^2} \cdot 1\);
\((xy^2)_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\), \(x_2 = \frac{3}{y^2}\);
Первое значение:
\(-\frac{2}{y^2} \cdot y \cdot (-2 — 1) = 6\); \(2y \cdot (-2) = 6\); \(3 = 24y\); \(y = \frac{1}{8}\);
\(x = -2 \cdot 8^2 = -32\);
Второе значение: \(\frac{3}{y^2} \cdot y \cdot (3 — 1) = 6\); \(3 \cdot 2 = 6\); \(y \cdot 6 = 6y\); \(3 \cdot x = \frac{12}{3}\);
Ответ: \((-32; \frac{1}{8})\); \((3; 1)\).