ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2y + 6 = \frac{2}{x^3}\);
2) \(2x^8 = x^4y^4 + 1, 3y^8 = x^4y^4 + 2\).

1) Введем \(t=x^{2}y\). Тогда из \(x^{2}y+6=\frac{y^{3}}{x^{2}}\) и \(x^{2}y-1=\frac{4x^{4}}{y^{2}}\) получаем \(y^{3}=x^{2}(t+6)\) и \(y^{2}=\frac{4x^{4}}{t-1}\). Делим: \(y=\frac{x^{2}(t+6)}{\frac{4x^{4}}{t-1}}=\frac{(t+6)(t-1)}{4x^{2}}\). Тогда \(t=x^{2}y=\frac{(t+6)(t-1)}{4}\Rightarrow t^{2}+t-6=0\Rightarrow t\in\{-3,2\}\).

При \(t=-3\) имеем \(y=-\frac{3}{x^{2}}\). Подстановка во второе уравнение дает \(-4=\frac{4x^{8}}{9}\Rightarrow x^{8}=-9\), что невозможно, следовательно решений нет \(\emptyset\).

При \(t=2\) имеем \(y=\frac{2}{x^{2}}\). Подстановка во второе уравнение дает \(1=x^{8}\Rightarrow x=\pm1\). Тогда \(y=\frac{2}{(\pm1)^{2}}=2\). Ответ: \((-1,2)\) и \((1,2)\).

2) Для системы \( 2x^8 = x^4 y^4 + 1 \) и \( 6x^8 y^8 = (x^4 y^4 + 1)(x^4 y^4 + 2) \) введем \( z = x^4 y^4 \), тогда из первого \( 2x^8 = z + 1 \), из второго \( 6x^8 y^8 = (z + 1)(z + 2) \). Упрощаем, получаем \( 5z^2 — 3z — 2 = 0 \), откуда \( z = 1 \) или \( z = -\frac{2}{5} \). Для \( z = 1 \): \( x^4 y^4 = 1 \), \( x y = \pm 1 \), из \( 2x^8 = 2 \), \( x^8 = 1 \), \( x = \pm 1 \), соответственно \( y = \pm 1 \). Для \( z = -\frac{2}{5} \): решений нет. Ответ: \( (-1, 1) \), \( (1, -1) \), \( (-1, -1) \), \( (1, 1) \).

1) Система уравнений: \(\begin{cases}x^{2}y+6=\frac{y^{3}}{x^{2}},\\ x^{2}y-1=\frac{4x^{4}}{y^{2}}.\end{cases}\) Введем замену \(t=x^{2}y\), чтобы свести систему к одному неизвестному. Из первого уравнения получаем \(\frac{y^{3}}{x^{2}}=t+6\Rightarrow y^{3}=x^{2}(t+6)\). Из второго уравнения имеем \(\frac{4x^{4}}{y^{2}}=t-1\Rightarrow y^{2}=\frac{4x^{4}}{t-1}\). Разделим первое выражение для \(y^{3}\) на второе для \(y^{2}\): \(\frac{y^{3}}{y^{2}}=y=\frac{x^{2}(t+6)}{\frac{4x^{4}}{t-1}}=\frac{(t+6)(t-1)}{4x^{2}}\). Тогда из определения \(t=x^{2}y\) следует \(t=x^{2}\cdot\frac{(t+6)(t-1)}{4x^{2}}=\frac{(t+6)(t-1)}{4}\). Умножая на \(4\) и раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение относительно \(t\): \(4t=(t+6)(t-1)=t^{2}+5t-6\Rightarrow t^{2}+t-6=0\). Находим корни: дискриминант \(D=1+24=25\), следовательно \(t_{1}=-3\), \(t_{2}=2\).

Рассмотрим \(t=-3\). Тогда \(x^{2}y=-3\Rightarrow y=-\frac{3}{x^{2}}\). Подставим этот \(y\) во второе исходное уравнение: \(x^{2}\left(-\frac{3}{x^{2}}\right)-1=\frac{4x^{4}}{\left(-\frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}\Rightarrow -3-1=\frac{4x^{4}}{\frac{9}{x^{4}}}\). Преобразуем правую часть: \(\frac{4x^{4}}{\frac{9}{x^{4}}}=\frac{4x^{8}}{9}\). Получаем равенство относительно \(x^{8}\): \(-4=\frac{4x^{8}}{9}\Rightarrow x^{8}=-9\). Так как степень \(8\) четная, левая часть \(x^{8}\ge 0\), а правая \(-9<0\), противоречие. Следовательно решений при \(t=-3\) нет, то есть множество решений пусто \(\emptyset\) для этого случая. Рассмотрим \(t=2\). Тогда \(x^{2}y=2\Rightarrow y=\frac{2}{x^{2}}\). Подставим во второе исходное уравнение: \(x^{2}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)-1=\frac{4x^{4}}{\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{2}}\Rightarrow 2-1=\frac{4x^{4}}{\frac{4}{x^{4}}}\). Упростим правую часть: \(\frac{4x^{4}}{\frac{4}{x^{4}}}=x^{8}\). Получаем \(1=x^{8}\Rightarrow x=\pm 1\). Восстанавливаем \(y\): \(y=\frac{2}{(\pm 1)^{2}}=2\). Итоговые решения системы: \((-1;2)\) и \((1;2)\). 2) \( 2x^8 = x^4 y^4 + 1 \); \( 6x^8 y^8 = (x^4 y^4 + 1)(x^4 y^4 + 2) \); \( 6(x^4 y^4)^2 = (x^4 y^4)^2 + 2x^4 y^4 + x^4 y^4 + 2 \); \( 5(x^4 y^4)^2 - 3x^4 y^4 - 2 = 0 \); \( D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49 \), тогда: \( (x y)_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \); \( (x y)_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \); \( x^4 y^4 = 1 \); \( x y = \pm 1 \); Из первого уравнения: \( y = \pm \frac{1}{x} \); \( 2x^8 = 1 + 1 \); \( 2x^8 = 2 \); \( x^8 = 1 \); \( x = \pm 1 \); \( y_1 = \frac{1}{1} = 1 \); \( y_2 = \frac{1}{-1} = -1 \); Ответ: \( (-1; 1) \); \( (1; -1) \); \( (-1; -1) \); \( (1; 1) \).