ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2y + 6 = \frac{2}{x^3}\);
2) \(2x^8 = x^4y^4 + 1, 3y^8 = x^4y^4 + 2\).

1) Для системы уравнений \( x^2 y + 6 = 33 \) и \( y — 1 = 4x^4 \) подставим \( y = 4x^4 + 1 \) в первое уравнение, получим \( x^2 (4x^4 + 1) + 6 = 33 \), что упрощается до \( 4x^6 + x^2 — 27 = 0 \). Пусть \( z = x^2 \), тогда \( 4z^3 + z — 27 = 0 \). Решаем кубическое уравнение, находим \( z = 2 \), откуда \( x = \pm \sqrt{2} \), но проверка показывает, что \( x^2 = 2 \) не подходит. Переформулируем через \( t = x^2 y \), получаем \( t^2 + t — 6 = 0 \), откуда \( t = 2 \) или \( t = -3 \). Для \( t = 2 \): \( x^2 y = 2 \), \( y = 4x^4 + 1 \), подставляем, находим \( x = \pm 1 \), \( y = 4 \). Для \( t = -3 \): \( x^2 y = -3 \), решений нет, так как \( x^8 = -9 \), \( x \in \emptyset \). Ответ: \( (-1, 4) \), \( (1, 4) \).

2) Для системы \( 2x^8 = x^4 y^4 + 1 \) и \( 6x^8 y^8 = (x^4 y^4 + 1)(x^4 y^4 + 2) \) введем \( z = x^4 y^4 \), тогда из первого \( 2x^8 = z + 1 \), из второго \( 6x^8 y^8 = (z + 1)(z + 2) \). Упрощаем, получаем \( 5z^2 — 3z — 2 = 0 \), откуда \( z = 1 \) или \( z = -\frac{2}{5} \). Для \( z = 1 \): \( x^4 y^4 = 1 \), \( x y = \pm 1 \), из \( 2x^8 = 2 \), \( x^8 = 1 \), \( x = \pm 1 \), соответственно \( y = \pm 1 \). Для \( z = -\frac{2}{5} \): решений нет. Ответ: \( (-1, 1) \), \( (1, -1) \), \( (-1, -1) \), \( (1, 1) \).

1) \( x^2 y + 6 = 33 \); \( y — 1 = 4x^4 \); \( y = 4x^4 + 1 \); \( (x^2 y + 6)(x^2 y — 1) = 4x^2 y \); \( (x^2 y)^2 — x^2 y + 6x^2 y — 6 = 4x^2 y \); \( (x^2 y)^2 + x^2 y — 6 = 0 \); \( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \), тогда: \( (x^2 y)_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \); \( (x^2 y)_2 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \); \( V_1 = -x^2 \)

Первое значение: \( 2 \cdot (-2) — 1 = 4x^4 \); \( -4 = 4x^4 \); \( x^4 = -1 \); \( x^8 = -9 \); \( x \in \emptyset \);

Второе значение: \( 2 \cdot 2 — 1 = 4x^4 \); \( 3 = 4x^4 \); \( x^4 = \frac{3}{4} \); \( x^8 = \frac{9}{16} \); \( x = \pm 1 \); \( y = \frac{4}{(\pm 1)^2} = 4 \)

Ответ: \( (-1; 4) \); \( (1; 4) \).

2) \( 2x^8 = x^4 y^4 + 1 \); \( 6x^8 y^8 = (x^4 y^4 + 1)(x^4 y^4 + 2) \); \( 6(x^4 y^4)^2 = (x^4 y^4)^2 + 2x^4 y^4 + x^4 y^4 + 2 \); \( 5(x^4 y^4)^2 — 3x^4 y^4 — 2 = 0 \); \( D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49 \), тогда: \( (x y)_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \); \( (x y)_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \); \( x^4 y^4 = 1 \); \( x y = \pm 1 \);

Из первого уравнения: \( y = \pm \frac{1}{x} \); \( 2x^8 = 1 + 1 \); \( 2x^8 = 2 \); \( x^8 = 1 \); \( x = \pm 1 \);

\( y_1 = \frac{1}{1} = 1 \); \( y_2 = \frac{1}{-1} = -1 \);

Ответ: \( (-1; 1) \); \( (1; -1) \); \( (-1; -1) \); \( (1; 1) \).