ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\((x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4, (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 — 2y^2) = 1 — 4y^4\).

\(\left\{ \begin{array}{l} (x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4 \\ (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 — 2y^2) = 1 — 4y^4 \end{array} \right.\)
1) Перемножим уравнения: \((x^2 + 2y^2)^2 — 4x^2y^2)(x^4 — 4y^4) = 1 — 16y^8\); \((x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 — 4x^2y^2)(x^4 — 4y^4) = 1 — 16y^8\); \((x^4 + 4y^4)(x^4 — 4y^4) = 1 — 16y^8\); \(x^8 — 16y^8 = 1 — 16y^8\); \(x^8 = 1\); \(x = \pm 1\);
2) Из второго уравнения: \((1 \pm 2y + 2y^2)(1 — 2y^2) = 1 — 4y^4\); \((1 \pm 2y + 2y^2)(1 — 2y^2) = (1 — 2y^2)(1 + 2y^2)\); \(1 \pm 2y + 2y^2 = 1 + 2y^2\); \(\pm 2y = 0\); \(y = 0\);
Ответ: \((-1; 0)\); \((1; 0)\).

Для решения данной системы уравнений я проведу вас через каждый шаг с максимальной детализацией, чтобы все аспекты стали понятны. Рассмотрим систему уравнений: \(\left\{ \begin{array}{l} (x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4 \\ (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 — 2y^2) = 1 — 4y^4 \end{array} \right.\). Наша цель — найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого мы будем использовать метод перемножения уравнений, чтобы упростить выражения и найти возможные значения переменных. Этот подход позволяет устранить сложные слагаемые и свести систему к более простым уравнениям. Давайте начнем с анализа каждого уравнения. Первое уравнение содержит выражение \((x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2)\), которое равно \(1 + 4y^4\), а второе уравнение — \((x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 — 2y^2)\), равное \(1 — 4y^4\). Заметим, что левая часть каждого уравнения имеет схожую структуру, что наводит на мысль о возможности их перемножения для получения более простого выражения.

Теперь перейдем к перемножению левых и правых частей уравнений. Если мы умножим левое выражение первого уравнения на левое выражение второго уравнения, то получим \((x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 — 2y^2)\). Это выражение можно перегруппировать, заметив, что \((x^2 + 2y^2)(x^2 — 2y^2) = x^4 — 4y^4\), а \((x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)\) также можно упростить. Давайте вычислим это последнее выражение: \((x^2 — 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2) = x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 — 2x^3y — 4x^2y^2-\)
\( — 4xy^3 + 2x^2y^2 + 4xy^3 + 4y^4\). Сокращая подобные слагаемые, получаем \(x^4 + (2x^3y — 2x^3y) + (2x^2y^2 — 4x^2y^2 + 2x^2y^2) + (-4xy^3 + 4xy^3) + 4y^4 =\)
\(= x^4 + 4y^4\). Таким образом, произведение левых частей уравнений равно \((x^4 + 4y^4)(x^4 — 4y^4)\), что является разностью квадратов: \((x^4)^2 — (4y^4)^2 = x^8 — 16y^8\). Теперь умножим правые части уравнений: \((1 + 4y^4)(1 — 4y^4) = 1^2 — (4y^4)^2 = 1 — 16y^8\). Итак, после перемножения получаем уравнение \(x^8 — 16y^8 = 1 — 16y^8\). Переносим \(-16y^8\) в правую часть и получаем \(x^8 = 1\). Это означает, что \(x^8 — 1 = 0\), и решениями являются \(x = \pm 1\), так как \(1^8 = 1\) и \((-1)^8 = 1\). Других вещественных решений нет, поскольку \(x^8\) всегда положительна или равна нулю, но \(x = 0\) не удовлетворяет \(x^8 = 1\).

Далее нам нужно найти соответствующие значения \(y\) для каждого из значений \(x\). Подставим \(x = 1\) во второе уравнение системы: \((1^2 + 2 \cdot 1 \cdot y + 2y^2)(1^2 — 2y^2) = 1 — 4y^4\). Упростим левую часть: \((1 + 2y + 2y^2)(1 — 2y^2)\). Раскроем скобки: \(1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2y^2) + 2y \cdot 1 + 2y \cdot (-2y^2) + 2y^2 \cdot 1 + 2y^2 \cdot (-2y^2) = 1 — 2y^2 +\)
\(+ 2y — 4y^3 + 2y^2 — 4y^4 = 1 + 2y — 4y^3 — 4y^4\). Это должно быть равно \(1 — 4y^4\). Итак, \(1 + 2y — 4y^3 — 4y^4 = 1 — 4y^4\). Вычтем \(1 — 4y^4\) из обеих сторон: \(2y — 4y^3 = 0\). Выносим \(2y\) за скобку: \(2y(1 — 2y^2) = 0\). Это дает решения \(y = 0\) или \(1 — 2y^2 = 0\), то есть \(y^2 = \frac{1}{2}\), \(y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). Однако, если подставить \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}\) в первое уравнение с \(x = 1\), то левая часть будет \((1 — 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{4})(1 + 2 \cdot \frac{2}{4}) = (1 — \sqrt{2} + 1)(1 + 1) = (2 — \sqrt{2}) \cdot 2\), что не равно правой части \(1 + 4 \cdot \frac{2}{16} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5\). Аналогично для \(y = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Только \(y = 0\) удовлетворяет: \((1 — 0 + 0)(1 + 0) = 1 \cdot 1 = 1\), а правая часть \(1 + 0 = 1\). Для \(x = -1\) во второе уравнение: \((1 — 2y + 2y^2)(1 — 2y^2) = 1 — 4y^4\), раскрытие дает тот же результат \(2y — 4y^3 = 0\), и снова \(y = 0\) является единственным решением, так как \((1 — 0 + 0)(1 — 0) = 1\), что равно \(1 — 0\). Проверка в первом уравнении для \(x = -1\), \(y = 0\): \((1 + 0 + 0)(1 + 0) = 1\), что совпадает с правой частью. Таким образом, единственные решения — это пары \((-1, 0)\) и \((1, 0)\). Мы проверили все возможные значения, и других решений система не имеет, так как значения \(y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) не удовлетворяют первому уравнению ни при одном из значений \(x\).