ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\((x^2 + y^2 — xy)(x — y) = 1 + y^3, (x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 — y^3\).

Решить систему уравнений:
\((x^2 + y^2 — xy)(x — y) = 1 + y^3\)
\((x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 — y^3\)

1) Перемножим уравнения: \((x^3 — y^3)(x^3 + y^3) = 1 — y^6\); \(x^6 — y^6 = 1 — y^6\); \(x^6 = 1\); \(x = \pm 1\);
2) Первое значение: \((1 + y^2 — y)(y — 1) = 1 — y^3\); \((y — 1)(y^2 — y + 1) = (1 — y)(1 + y + y^2)\); \(y^2 — y + 1 = -1 — y — y^2\); \(2y^2 = -2\); \(y^2 = -1\); \(y \in \emptyset\);
3) Второе значение: \((1 + y^2 + y)(y + 1) = 1 — y^3\); \((y + 1)(y^2 + y + 1) = (1 — y)(1 + y + y^2)\); \(y + 1 = 1 — y\); \(2y = 0\); \(y = 0\);
Ответ: \((1; 0)\).

Для решения системы уравнений \((x^2 + y^2 — xy)(x — y) = 1 + y^3\) и \((x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 — y^3\) необходимо провести пошаговый анализ, чтобы найти все возможные пары значений \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Мы начнем с рассмотрения структуры уравнений и попытаемся упростить их, чтобы выявить взаимосвязь между переменными. Заметим, что левая часть первого уравнения содержит выражение \((x^2 + y^2 — xy)\), а второго — \((x^2 + y^2 + xy)\), что намекает на возможность использования разности или суммы кубов, поскольку \((x — y)\) и \((x + y)\) также присутствуют. Наша цель — преобразовать уравнения так, чтобы можно было выразить одну переменную через другую или найти их значения напрямую. Давайте попробуем перемножить оба уравнения, чтобы получить новое уравнение, которое может быть проще для решения.

Рассмотрим перемножение левых и правых частей уравнений. Если умножить \((x^2 + y^2 — xy)(x — y)\) на \((x^2 + y^2 + xy)(x + y)\), то в левой части мы получим произведение \((x^2 + y^2 — xy)(x^2 + y^2 + xy) \cdot (x — y)(x + y)\). Заметим, что \((x^2 + y^2 — xy)(x^2 + y^2 + xy) = (x^2 + y^2)^2 — (xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 -\)
\(- x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4\), а \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\). Таким образом, левая часть преобразуется в \((x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 — y^2)\). Однако более простым подходом будет заметить, что \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\), а выражения \((x^2 + y^2 — xy)\) и \((x^2 + y^2 + xy)\) можно представить как разность и сумму кубов. Действительно, \((x^3 — y^3) = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), но у нас немного другие комбинации.
Давайте вычислим произведение левых частей более внимательно: \((x^2 + y^2 — xy)(x — y) \cdot (x^2 + y^2 + xy)(x + y) = [(x^2 + y^2)^2 — (xy)^2] \cdot (x^2 -\)
\(- y^2) = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4 — x^2y^2) \cdot (x^2 — y^2) = (x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 — y^2)\). Теперь раскроем это как \((x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 — y^2) = x^6 — x^4y^2 + x^4y^2 — x^2y^4 + x^2y^4 — y^6=\)
\( = x^6 — y^6\). Таким образом, левая часть произведения равна \((x^6 — y^6)\). Правая часть произведения равна \((1 + y^3)(1 — y^3) = 1 — y^6\). Итак, мы получили уравнение \((x^6 — y^6) = 1 — y^6\), что упрощается до \((x^6 = 1)\). Это означает, что \(x = \pm 1\), так как \(x^6 = 1\) имеет решения \(x = 1\) или \(x = -1\) в действительных числах (учитывая, что \(x^6 = (x^2)^3 = 1\), откуда \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = \pm 1\)).

Теперь, когда у нас есть два возможных значения для \(x\), а именно \(x = 1\) и \(x = -1\), мы должны подставить каждое из них в исходные уравнения, чтобы найти соответствующие значения \(y\). Начнем с \(x = 1\). Подставим это значение в первое уравнение: \((1^2 + y^2 — 1 \cdot y)(1 — y) = 1 + y^3\), что упрощается до \((1 + y^2 — y)(1 — y) = 1 + y^3\). Раскроем левую часть: \((1 + y^2 — y)(1 — y) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-y) + y^2 \cdot 1 + y^2 \cdot (-y) +\)
\(+ (-y) \cdot 1 + (-y) \cdot (-y) = 1 — y + y^2 — y^3 — y + y^2 = 1 — 2y + 2y^2 — y^3\). Таким образом, уравнение принимает вид \(1 — 2y + 2y^2 — y^3 = 1 + y^3\). Перенесем все члены в одну сторону: \(1 — 2y + 2y^2 — y^3 — 1 — y^3 = 0\), что упрощается до \(-2y^3 + 2y^2 — 2y = 0\). Умножим на \(-1\), чтобы упростить: \(2y^3 — 2y^2 + 2y = 0\). Выносим \(2y\) за скобки: \(2y(y^2 — y + 1) = 0\). Это дает \(y = 0\) или \(y^2 — y + 1 = 0\). Проверим дискриминант второго уравнения: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 < 0\), следовательно, решений нет, и \(y = 0\) — единственное возможное значение. Однако, подставим \(y = 0\) в первое уравнение для проверки: \((1 + 0^2 - 0)(1 - 0) = 1 + 0^3\), то есть \(1 \cdot 1 = 1\), что верно. Теперь проверим второе уравнение с \(x = 1\) и \(y = 0\): \((1^2 + 0^2 + 1 \cdot 0)(1 + 0) = 1 - 0^3\), то есть \(1 \cdot 1 = 1\), что также верно. Таким образом, пара \((1, 0)\) является решением. Теперь рассмотрим случай \(x = -1\). Подставим это значение в первое уравнение: \((-1)^2 + y^2 - (-1)y)(-1 - y) = 1 + y^3\), что упрощается до \((1 + y^2 + y)(-1 - y) = 1 + y^3\). Раскроем левую часть: \((1 + y^2 + y)(-1 - y) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-y) + \) \(+y^2 \cdot (-1) + y^2 \cdot (-y) + y \cdot (-1) + y \cdot (-y) = -1 - y - y^2 - y^3 - y - y^2 =\) \(= -1 - 2y - 2y^2 - y^3\). Уравнение становится: \(-1 - 2y - 2y^2 - y^3 = 1 + y^3\). Перенесем все члены в левую часть: \(-1 - 2y - 2y^2 - y^3 - 1 - y^3 = 0\), что дает \(-2 - 2y - 2y^2 - 2y^3 = 0\). Умножим на \(-1\): \(2y^3 + 2y^2 + 2y + 2 = 0\), или \(y^3 + y^2 + y + 1 = 0\). Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные корни — это делители свободного члена, то есть \(\pm 1\). Подставим \(y = -1\): \((-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0\). Таким образом, \(y = -1\) — корень. Разделим многочлен на \((y + 1)\) с помощью синтетического деления: коэффициенты \(1, 1, 1, 1\), делитель \(-1\). Получаем: \(1 \cdot (-1) = -1\), \(1 + (-1) = 0\), \(0 \cdot (-1) = 0\), \(1 + 0 = 1\), \(1 \cdot (-1) = -1\), \(1 + (-1) = 0\). Итог: \(y^2 + 1\), то есть \(y^3 + y^2 + y + 1 = (y + 1)(y^2 + 1)\). Уравнение \(y^2 + 1 = 0\) не имеет действительных решений (\(y = \pm i\)), поэтому единственное действительное решение — \(y = -1\). Проверим пару \((-1, -1)\) в обоих уравнениях. Первое: \((1 + 1 - (-1)(-1))(-1 - (-1)) = 1 + (-1)^3\), то есть \((1 + 1 - 1)(0) = 1 - 1\), \(1 \cdot 0 = 0\), что верно. Второе уравнение: \((1 + 1 + (-1)(-1))(-1 + (-1)) = 1 - (-1)^3\), то есть \((1 + 1 + 1)(-2) = 1 - (-1)\), \(3 \cdot (-2) = 2\), \(-6 \neq 2\), что неверно. Следовательно, пара \((-1, -1)\) не является решением.