ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\((x^2 + y^2 — xy)(x — y) = 1 + y^3, (x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 — y^3\).

Решить систему уравнений:
\((x^2 + y^2 — xy)(x — y) = 1 + y^3\)
\((x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 — y^3\)

1) Перемножим уравнения: \((x^3 — y^3)(x^3 + y^3) = 1 — y^6\); \(x^6 — y^6 = 1 — y^6\); \(x^6 = 1\); \(x = \pm 1\);
2) Первое значение: \((1 + y^2 — y)(y — 1) = 1 — y^3\); \((y — 1)(y^2 — y + 1) = (1 — y)(1 + y + y^2)\); \(y^2 — y + 1 = -1 — y — y^2\); \(2y^2 = -2\); \(y^2 = -1\); \(y \in \emptyset\);
3) Второе значение: \((1 + y^2 + y)(y + 1) = 1 — y^3\); \((y + 1)(y^2 + y + 1) = (1 — y)(1 + y + y^2)\); \(y + 1 = 1 — y\); \(2y = 0\); \(y = 0\);
Ответ: \((1; 0)\).

Рассмотрим систему уравнений: \((x^{2}+y^{2}-xy)(x-y)=1+y^{3}\) и \((x^{2}+y^{2}+xy)(x+y)=1-y^{3}\). Перемножим левую и правую части двух уравнений попарно. На левой части получаем произведение \((x^{2}+y^{2}-xy)(x-y)\cdot(x^{2}+y^{2}+xy)(x+y)\). Заметим, что \((x^{2}+y^{2}-xy)(x^{2}+y^{2}+xy)=(x^{2}+y^{2})^{2}-(xy)^{2}=x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2}\), а \((x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}\). Следовательно, левая часть сводится к \((x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2})(x^{2}-y^{2})\). Правая часть равна \((1+y^{3})(1-y^{3})=1-y^{6}\). Удобнее заметить, что исходные множители можно сгруппировать как \((x^{3}-y^{3})(x^{3}+y^{3})\), поскольку \((x^{2}+y^{2}-xy)(x-y)=x^{3}-y^{3}\) и \((x^{2}+y^{2}+xy)(x+y)=x^{3}+y^{3}\). Тогда произведение равно \((x^{3}-y^{3})(x^{3}+y^{3})=x^{6}-y^{6}\). Отсюда имеем \(x^{6}-y^{6}=1-y^{6}\), следовательно \(x^{6}=1\). Значит \(x=\pm 1\).

Рассмотрим случай \(x=1\). Подставим в первое уравнение: \((1+y^{2}-y)(1-y)=1+y^{3}\). Заметим, что \(1+y^{2}-y=(y-1)^{2}+1\), но удобнее применить факторизацию кубов: \(1+y^{3}=(1+y)(1-y+y^{2})\). Перенесем множители: \((1+y^{2}-y)(1-y)=(1+y)(1-y+y^{2})\). Сократим общий множитель, если это возможно. Разложим левую скобку как \(1-y+y^{2}\). Тогда уравнение принимает вид \((1-y+y^{2})(1-y)=(1+y)(1-y+y^{2})\). При \(1-y+y^{2}\neq 0\) можно сократить на этот общий множитель, получая \(1-y=1+y\), откуда \(y=0\). Проверка: для \(x=1\), \(y=0\) первое уравнение дает \((1+0-0)(1-0)=1\), правая часть \(1+0=1\) верно; второе уравнение \((1+0+0)(1+0)=1\), правая часть \(1-0=1\) верно. Если рассмотреть возможность \(1-y+y^{2}=0\), то это дает \(y^{2}-y+1=0\) с дискриминантом \(D=1-4=-3<0\), вещественных решений нет, значит в действительных числах остаётся только \(y=0\). Рассмотрим случай \(x=-1\). Подставим во второе уравнение: \((1+y^{2}-y)(-1+y)=1-y^{3}\) или, переставив множители, \((1+y^{2}-y)(y-1)=1-y^{3}\). Заметим, что \(1-y^{3}=(1-y)(1+y+y^{2})\). Тогда получаем \((1-y+y^{2})(y-1)=(1-y)(1+y+y^{2})\). Вынесем \((y-1)=-(1-y)\), отсюда левая часть равна \(-(1-y+y^{2})(1-y)\). При \(1-y+y^{2}\neq 0\) сокращение невозможно из-за знака, но можно перенести: \(-(1-y+y^{2})(1-y)=(1-y)(1+y+y^{2})\). Если \(1-y\neq 0\), делим обе части на \(1-y\), получаем \(-(1-y+y^{2})=1+y+y^{2}\), следовательно \(-1+y-y^{2}=1+y+y^{2}\). Переносим все в одну сторону: \(-2 - y^{2}-y^{2}=0\) эквивалентно \(2y^{2}+y+2=0\), что даёт отрицательный дискриминант \(D=1-16=-15<0\). При \(1-y=0\) имеем \(y=1\), но подстановка в исходные уравнения даёт противоречие: для \(x=-1\), \(y=1\) первое уравнение \((1+1-(-1))( -1-1)= (3)(-2)=-6\) не равно \(1+1=2\). Следовательно решений при \(x=-1\) нет. Итак, единственная пара действительных чисел, удовлетворяющая системе, это \((x,y)=(1,0)\). Ответ: \((1,0)\).