ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^2 — xy + y^2 = 7\);
2) \(x^2 = 2y — 1, x^4 + y^4 = 2\).

1) \((x^4 + x^2 y^2 + y^4 = 21)\); \(x^2 — xy + y^2 = 7\)

Из первого уравнения: \(x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 — x^2 y^2 = 21\); \((x^2 + y^2)^2 — (xy)^2 = 21\); \((x^2 + y^2 — xy)(x^2 + y^2 + xy) = 21\); \(7(x^2 + y^2 + xy) = 21\); \(x^2 + xy + y^2 = 3\);

Вычтем второе уравнение: \(2xy = -4\); \(xy = -2\);

Из второго уравнения: \(x^2 + 2 + (-2) = 7\); \(x^2 = 7\); \(x^4 — 5x^2 + 4 = 0\); \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), тогда: \(x^2 = \frac{5 — 3}{2} = 1\); \(x^2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\); \(x_1 = \pm \sqrt{1} = \pm 1\); \(x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2\); \(y_1 = \frac{-2}{x_1} = \pm 2\); \(y_2 = \frac{-2}{x_2} = \pm 1\);

Ответ: \((-1; 2)\); \((1; -2)\); \((-2; 1)\); \((2; -1)\).

2) \(x^4 + y^4 = 2\); \(x^2 = 2y — 1\)

Из первого уравнения: \(x^2 = 2y — 1\); \(x = \pm \sqrt{2y — 1}\);

Область определения: \(2y — 1 \geq 0\); \(2y \geq 1\); \(y \geq \frac{1}{2}\);

Из второго уравнения: \((2y — 1)^2 + y^4 = 2\); \(4y^2 — 4y + 1 + y^4 = 2\); \(y^4 — 1 + 4y^2 — 4y = 0\); \((y^2 + 1)(y — 1)(y + 1) + 4y(y — 1) = 0\); \((y — 1)((y^2 + 1)(y + 1) + 4y) = 0\); \(y — 1 = 0\); \(y = 1\); \(x = \pm \sqrt{2 \cdot 1 — 1} = \pm 1\);

Ответ: \((-1; 1)\); \((1; 1)\).

Для решения системы уравнений \((x^4 + x^2 y^2 + y^4 = 21)\) и \((x^2 — xy + y^2 = 7)\) нам нужно шаг за шагом проанализировать оба уравнения, найти взаимосвязь между переменными \(x\) и \(y\), а затем определить все возможные пары значений, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Начнем с первого уравнения. Мы видим, что \((x^4 + x^2 y^2 + y^4)\) можно переписать, добавив и вычтя определенные члены, чтобы преобразовать выражение в более удобную форму. Если мы рассмотрим выражение \((x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 — x^2 y^2)\), то заметим, что \((x^4 + 2x^2 y^2 + y^4)\) является квадратом суммы \((x^2 + y^2)^2\), а вычитание \((x^2 y^2)\) позволяет представить это как разность квадратов: \((x^2 + y^2)^2 — (xy)^2\). Согласно формуле разности квадратов, это преобразуется в \(((x^2 + y^2) — xy)((x^2 + y^2) + xy) = 21\). Теперь обратим внимание на второе уравнение \((x^2 — xy + y^2 = 7)\). Мы замечаем, что множитель \((x^2 — xy + y^2)\) совпадает с одним из множителей в разложении первого уравнения, а именно с \((x^2 + y^2 — xy)\). Это дает нам возможность подставить значение из второго уравнения в первое. Таким образом, \((x^2 + y^2 — xy) = 7\), и мы можем записать \((7) \cdot (x^2 + y^2 + xy) = 21\), откуда следует, что \((x^2 + y^2 + xy) = \frac{21}{7} = 3\). Теперь у нас есть новое уравнение: \((x^2 + xy + y^2 = 3)\). Мы имеем два уравнения: \((x^2 — xy + y^2 = 7)\) и \((x^2 + xy + y^2 = 3)\), которые можно использовать для нахождения значений \(x\) и \(y\). Вычтем второе уравнение из первого: \((x^2 — xy + y^2) — (x^2 + xy + y^2) = 7 — 3\), что упрощается до \((-2xy = 4)\), следовательно, \((xy = -2)\). Это соотношение между \(x\) и \(y\) очень важно, так как оно позволяет выразить одну переменную через другую.

Теперь, когда у нас есть \((xy = -2)\), мы можем подставить это значение в одно из уравнений, чтобы найти возможные значения \(x\) или \(y\). Давайте вернемся ко второму уравнению \((x^2 — xy + y^2 = 7)\). Поскольку \((xy = -2)\), то \((-xy = 2)\), и уравнение принимает вид \((x^2 + 2 + y^2 = 7)\), или \((x^2 + y^2 = 5)\). У нас также есть связь \((xy = -2)\), что позволяет рассматривать \(x\) и \(y\) как корни квадратного уравнения. Однако более простым подходом будет выразить \(y\) через \(x\) как \((y = \frac{-2}{x})\), и подставить это в уравнение \((x^2 + y^2 = 5)\). Тогда \((y^2 = \left(\frac{-2}{x}\right)^2 = \frac{4}{x^2})\), и уравнение становится \((x^2 + \frac{4}{x^2} = 5)\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на \(x^2\): \((x^4 + 4 = 5x^2)\), что приводит к \((x^4 — 5x^2 + 4 = 0)\). Это биквадратное уравнение, которое можно решить, введя замену \((z = x^2)\), тогда уравнение превращается в \((z^2 — 5z + 4 = 0)\). Решаем это квадратное уравнение для \(z\): дискриминант \((D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9)\), корни находятся как \((z = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2})\), то есть \((z_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4)\) и \((z_2 = \frac{5 — 3}{2} = 1)\). Поскольку \((z = x^2)\), то \((x^2 = 4)\) или \((x^2 = 1)\), откуда \((x = \pm 2)\) или \((x = \pm 1)\). Теперь для каждого значения \(x\) находим соответствующее \(y\) из условия \((xy = -2)\). Если \((x = 2)\), то \((y = \frac{-2}{2} = -1)\); если \((x = -2)\), то \((y = \frac{-2}{-2} = 1)\); если \((x = 1)\), то \((y = \frac{-2}{1} = -2)\); если \((x = -1)\), то \((y = \frac{-2}{-1} = 2)\). Таким образом, возможные пары: \((2, -1)\), \((-2, 1)\), \((1, -2)\), \((-1, 2)\). Проверим каждую пару в исходных уравнениях. Для \((2, -1)\): первое уравнение \((2^4 + 2^2 \cdot (-1)^2 + (-1)^4 = 16 + 4 \cdot 1 + 1 = 21)\), второе \((2^2 — 2 \cdot (-1) + (-1)^2 = 4 + 2 + 1 = 7)\), оба верны. Аналогично проверяем остальные пары, и все они удовлетворяют системе.

Перейдем ко второй системе уравнений: \((x^4 + y^4 = 2)\) и \((x^2 = 2y — 1)\). Здесь из второго уравнения сразу выражаем \((x^2 = 2y — 1)\), откуда \((x = \pm \sqrt{2y — 1})\). Учитываем область определения: \((2y — 1 \geq 0)\), то есть \((y \geq \frac{1}{2})\), чтобы под корнем было неотрицательное число. Подставим \((x^2 = 2y — 1)\) в первое уравнение. Поскольку \((x^4 = (x^2)^2 = (2y — 1)^2)\), то \((x^4 + y^4 = (2y — 1)^2 + y^4 = 4y^2 — 4y + 1 + y^4 = 2)\). Перенесем все члены в одну сторону: \((y^4 + 4y^2 — 4y + 1 — 2 = 0)\), или \((y^4 + 4y^2 — 4y — 1 = 0)\). Это уравнение четвертой степени, и мы попробуем разложить его на множители. Заметим, что можно сгруппировать члены или проверить возможные рациональные корни. Предположим, что \((y — 1)\) является множителем, так как при \((y = 1)\) значение близко к нулю. Подставим \((y = 1)\): \((1^4 + 4 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 — 1 = 1 + 4 — 4 — 1 = 0)\), действительно, корень. Делим многочлен \((y^4 + 4y^2 — 4y — 1)\) на \((y — 1)\) с помощью синтетического деления: коэффициенты \(1, 0, 4, -4, -1\), делитель \(1\). Получаем: \(1 \cdot 1 = 1\), \(0 + 1 = 1\), \(1 \cdot 1 = 1\), \(4 + 1 = 5\), \(5 \cdot 1 = 5\), \(-4 + 5 = 1\), \(1 \cdot 1 = 1\), \(-1 + 1 = 0\). Итог: \((y^3 + y^2 + 5y + 1)\). Теперь решаем \((y^3 + y^2 + 5y + 1 = 0)\). Проверяем рациональные корни, например, \((y = -1)\): \((-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) + 1 = -1 + 1 — 5 + 1 = -4 \neq 0)\), не подходит. Дискриминант и анализ знаков показывают, что есть только один действительный корень у исходного уравнения, и это \((y = 1)\), так как остальные корни кубического уравнения не дают решений в области \((y \geq \frac{1}{2})\). Для \((y = 1)\), \((x = \pm \sqrt{2 \cdot 1 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1)\). Проверяем пары \((1, 1)\) и \((-1, 1)\): первое уравнение \((1^4 + 1^4 = 1 + 1 = 2)\), второе \((1^2 = 2 \cdot 1 — 1 = 1)\), оба верны. Таким образом, решения: \((1, 1)\) и \((-1, 1)\). Этот подробный разбор позволяет увидеть все шаги решения и убедиться в правильности ответов.