ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите методом подстановки систему уравнений:
1) \((x — 1)(y — 2) = 2, x + y = 6\);
2) \(x^2 — 2y^2 = 8, x + y = 6\);
3) \(\frac{1}{x — 1} — \frac{2}{y — 1} = 2, x — y = 4\);
4) \(3x^2 — 8y = -5, 5x — 2y = 3\);
5) \(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} = \frac{5}{3}, x + y = 6\);
6) \(\frac{1}{x — 2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, x — y = 2\).

Для системы \(y-2x^2=2,\;3x+y=1\): подставляем \(y=1-3x\) в первое: \(1-3x-2x^2=2\Rightarrow2x^2+3x+1=0\). Корни: \(x_1=-2,\;x_2=-\frac{1}{2}\). Тогда \(y_1=1-3(-2)=7\), \(y_2=1-3\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}\). Ответ: \((-2;7),\;(-\frac{1}{2};\frac{5}{2})\).

Для системы \(x^2-2y^2=8,\;x+y=6\): подставляем \(x=6-y\): \((6-y)^2-2y^2=8\Rightarrow36-12y+y^2-2y^2=8\Rightarrow -y^2-12y+28=0\Rightarrow \)
\(y^2+12y-28=0\). \(D=256\), \(y_1=-14,\;y_2=2\). Тогда \(x_1=20,\;x_2=4\). Ответ: \((20;-14),\;(4;2)\).

Для системы \(x^2-xy+y^2=63,\;y-x=3\): подставляем \(y=x+3\): \(x^2-x(x+3)+(x+3)^2=63\Rightarrow x^2- x^2-3x+x^2+6x+9=63\Rightarrow\)
\( x^2+3x-54=0\). \(D=225\), \(x_1=-9,\;x_2=6\). Тогда \(y_1=-6,\;y_2=9\). Ответ: \((-9;-6),\;(6;9)\).

Для системы \(x+2y=1,\;x^2+xy+2y^2=1\): подставляем \(x=1-2y\): \((1-2y)^2+y(1-2y)+2y^2=1\Rightarrow1-4y+4y^2+y-2y^2+2y^2=1\Rightarrow\)
\(4y^2-3y=0\Rightarrow y(4y-3)=0\). \(y_1=0,\;y_2=\frac{3}{4}\). Тогда \(x_1=1,\;x_2=-\frac{1}{2}\). Ответ: \((1;0),\;(-\frac{1}{2};\frac{3}{4})\).

Для системы \((x-1)(y-2)=2,\;x+y=6\): подставляем \(y=6-x\): \((x-1)(4-x)=2\Rightarrow -x^2+5x-4=2\Rightarrow x^2-5x+6=0\). \(D=1\), \(x_1=2,\;x_2=3\). Тогда \(y_1=4,\;y_2=3\). Ответ: \((2;4),\;(3;3)\).

Для системы \(5x-2y=3,\;3x^2-8y=-5\): из первого \(y=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\). Подставляем: \(3x^2-8\left(\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right)=-5\Rightarrow3x^2-20x+12=-5\Rightarrow3x^2-20x+17=0\). \(D=196\), \(x_1=2,\;x_2=\frac{17}{3}\). Тогда \(y_1=1,\;y_2=\frac{38}{3}\). Ответ: \((2;1),\;\left(\frac{17}{3};\frac{38}{3}\right)\).

\(y — 2x^2 = 2, 3x + y = 1\)
Второе уравнение: \(y = 1 — 3x\)
Первое уравнение: \(1 — 3x — 2x^2 = 2, 2x^2 + 3x + 1 = 0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда: \(x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -2\) и \(x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -1\), \(y_1 = 1 — 3 \cdot (-1) = 4\) и \(y_2 = 1 — 3 \cdot (-0.5) = 2.5\)
Ответ: \((-1; 4), (-0.5; 2.5)\).

\(x^2 — 2y^2 = 8, x + y = 6\)
Второе уравнение: \(x = 6 — y\)
Первое уравнение: \((6 — y)^2 — 2y^2 = 8, 36 — 12y + y^2 — 2y^2 = 8, y^2 + 12y — 28 = 0\)
\(D = 12^2 / 4 \cdot 28 = 144 + 112 = 256\), тогда: \(y_1 = \frac{-12 — \sqrt{256}}{2} = -14\) и \(y_2 = \frac{-12 + \sqrt{256}}{2} = 2\)
\(x_1 = 6 + 14 = 20\) и \(x_2 = 6 — 2 = 4\)
Ответ: \((20; -14), (4; 2)\).

\(x^2 — xy + y^2 = 63, y — x = 3\)
Второе уравнение: \(y = x + 3\)
Первое уравнение: \(x^2 — x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63, x^2 — x^2 — 3x + x^2 + 6x + 9 = 63, x^2 +\)
\(+ 3x — 54 = 0\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225\), тогда: \(x_1 = \frac{-3 — \sqrt{225}}{2} = -9\) и \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = 6\)
\(y_1 = -9 + 3 = -6\) и \(y_2 = 6 + 3 = 9\)
Ответ: \((-9; -6), (6; 9)\).

\(x + 2y = 1, x^2 + xy + 2y^2 = 1\)
Первое уравнение: \(x = 1 — 2y\)
Второе уравнение: \((1 — 2y)^2 + y(1 — 2y) + 2y^2 = 1, 1 — 4y + 4y^2 + y — 2y^2 + 2y^2 = 1, 4y^2 -\)
\(- 3y = 0, y(4y — 3) = 0\)
\(y_1 = 0\) и \(y_2 = 0.75\)
\(x_1 = 1\) и \(x_2 = 1 — 2 \cdot 0.75 = -0.5\)
Ответ: \((1; 0), (-0.5; 0.75)\).

\((x — 1)(y — 2) = 2, x + y = 6\)
Второе уравнение: \(y = 6 — x\)
Первое уравнение: \((x — 1)(6 — x — 2) = 2, (x — 1)(4 — x) = 2, 4x — x^2 — 4 + x = 2, x^2 -\)
\(- 5x + 6 = 0\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда: \(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
\(y_1 = 6 — 2 = 4\) и \(y_2 = 6 — 3 = 3\)
Ответ: \((2; 4), (3; 3)\).

\(5x — 2y = 3, 3x^2 — 8y = -5\)
Первое уравнение: \(2y = 5x — 3, y = 2.5x — 1.5\)
Второе уравнение: \(3x^2 — 8(2.5x — 1.5) = -5, 3x^2 — 20x + 12 = -5, 3x^2 — 20x + 17 = 0\)
\(D = 20^2 — 4 \cdot 3 \cdot 17 = 400 — 204 = 196\), тогда: \(x_1 = \frac{20 — \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = 2\) и \(x_2 = \frac{20 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}\)
\(y_1 = 2.5 \cdot 1 — 1.5 = 1\) и \(y_2 = \frac{5 \cdot 17}{6 \cdot 2} — \frac{3}{2} = \frac{38}{3}\)
Ответ: \((1; 1), (\frac{17}{3}; \frac{38}{3})\).