ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(x^4 + 4y^4 = 5, x^2 — 2xy + 2y^2 = 1\);
2) \(y^2 = x — 2, x^4 + y^4 = 82\).

1) Из первого уравнения: \((x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=5\Rightarrow(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)=5\). По второму уравнению \((x^2-2xy+2y^2)=1\), следовательно \((x^2+2xy+2y^2)=5\) и \((x^2+2y^2)-(2xy)=1\Rightarrow4xy=4\Rightarrow xy=1\).

Подставим \(y=\frac{1}{x}\) во второе уравнение: \(x^2-2x\cdot\frac{1}{x}+2\left(\frac{1}{x}\right)^2=1\Rightarrow x^2-2+ \frac{2}{x^2}=1\Rightarrow x^4-3x^2+2=0\). Отсюда \(x^2=1\) или \(x^2=2\), то есть \(x=\pm1\) или \(x=\pm\sqrt{2}\). Так как \(xy=1\), получаем \(y=\frac{1}{x}\): для \(x=\pm1\) имеем \(y=\pm1\); для \(x=\pm\sqrt{2}\) имеем \(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) с тем же знаком.

Ответ: \((-1,-1)\), \((1,1)\), \((-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\), \((\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\).

2) \([x^4 + y^4 = 82]\)
Из первого уравнения: \(y^2 = x — 2\); \(y = \pm \sqrt{x — 2}\);
Область определения: \(x — 2 \geq 0\); \(x \geq 2\);
Из второго уравнения: \(y^4 — 1 = 81 — x^4\); \((y^2 + 1)(y^2 — 1) = 81 — x^4\); \((x — 2 + 1)(x — 2 — 1) = 81 — x^4\); \((x — 1)(x — 3) = (9 + x^2)(3 — x)(3 + x)\); \((x — 3)((x — 1) + (9 + x^2)(3 + x)) = 0\);
\(x = 3\); \(y = \pm \sqrt{3 — 2} = \pm 1\); Ответ: \((3; -1)\); \((3; 1)\).

1) Начнём с преобразования первого уравнения: \((x^4+4y^4=5)\) перепишем как \((x^2)^2+4(xy)^2+(2y^2)^2-4(xy)^2=5\). Заметим, что \((x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=5\), что является разностью квадратов: \((x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)=5\). По второму уравнению системы известно \((x^2-2xy+2y^2=1)\), следовательно из произведения сразу получаем \((x^2+2xy+2y^2=5)\). Вычтем эти два выражения: \((x^2+2xy+2y^2)-(x^2-2xy+2y^2)=5-1\Rightarrow4xy=4\Rightarrow xy=1\). Это ключевое связующее условие между переменными.

Используем найденную связь \(xy=1\), то есть \(y=\frac{1}{x}\) при \(x\neq0\), и подставим её во второе уравнение: \((x^2-2xy+2y^2=1)\Rightarrow x^2-2x\cdot\frac{1}{x}+2\left(\frac{1}{x}\right)^2=1\Rightarrow x^2-2+\frac{2}{x^2}=1\). Умножим на \(x^2\neq0\): \(x^4-2x^2+2= x^2\Rightarrow x^4-3x^2+2=0\). Рассмотрим квадратное уравнение относительно \(u=x^2\): \(u^2-3u+2=0\). Корни \(u\) находятся по разложению \((u-1)(u-2)=0\), отсюда \(x^2=1\) или \(x^2=2\). Следовательно, \(x=\pm1\) или \(x=\pm\sqrt{2}\). Поскольку \(xy=1\), соответствующие \(y\) вычисляются как \(y=\frac{1}{x}\).

Переберём пары. Если \(x=1\), то \(y=\frac{1}{1}=1\), пара \((1,1)\) удовлетворяет обоим уравнениям: проверка первого даёт \(1^4+4\cdot1^4=1+4=5\), второго \((1^2-2\cdot1\cdot1+2\cdot1^2=1-2+2=1)\). Если \(x=-1\), то \(y=\frac{1}{-1}=-1\), пара \((-1,-1)\) так же подходит: \((-1)^4+4(-1)^4=1+4=5\), \(((-1)^2-2(-1)(-1)+2(-1)^2=1-2+2=1)\). Если \(x=\sqrt{2}\), то \(y=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), проверка: \((\sqrt{2})^4+4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4=4+4\cdot\frac{1}{4}=4+1=5\) и \(((\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2-2+1=1)\). Если \(x=-\sqrt{2}\), то \(y=\frac{1}{-\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), проверка аналогична: \((-\sqrt{2})^4+4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4=4+1=5\) и \(((-\sqrt{2})^2-2(-\sqrt{2})\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2-2+1=1)\). Других решений нет, так как иных значений \(x^2\) из уравнения \(x^4-3x^2+2=0\) не возникает, а \(x=0\) невозможен из-за условия \(xy=1\).

Ответ: \((-1,-1)\), \((1,1)\), \((-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\), \((\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\).

2) Рассмотрим систему уравнений: \(x^4 + y^4 = 82\) и второе уравнение не указано явно, но из текста понятно, что есть связь \(y^2 = x — 2\). Найдем все пары \((x, y)\), удовлетворяющие системе.

Из условия \(y^2 = x — 2\), откуда \(y = \pm \sqrt{x — 2}\). Определим область определения: \(x — 2 \geq 0\), то есть \(x \geq 2\).

Подставим \(y^2 = x — 2\) во второе уравнение \(x^4 + y^4 = 82\). Поскольку \(y^4 = (y^2)^2 = (x — 2)^2\), то \(x^4 + (x — 2)^2 = 82\). Раскроем скобки: \((x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4\), тогда \(x^4 + x^2 — 4x + 4 = 82\), или \(x^4 + x^2 — 4x + 4 — 82 = 0\), то есть \(x^4 + x^2 — 4x — 78 = 0\).

Однако в тексте указано дальнейшее преобразование через разность: \(y^4 — 1 = 81 — x^4\), то есть \((y^2 + 1)(y^2 — 1) = 81 — x^4\). Подставим \(y^2 = x — 2\), тогда \((x — 2 + 1)(x — 2 — 1) = 81 — x^4\), или \((x — 1)(x — 3) = 81 — x^4\). Далее в тексте указано разложение правой части: \(81 — x^4 = (9 + x^2)(9 — x^2) = (9 + x^2)(3 — x)(3 + x)\), так что \((x — 1)(x — 3) = (9 + x^2)(3 — x)(3 + x)\). Это уравнение решается как \((x — 3)((x — 1) — (9 + x^2)(3 + x)) = 0\), но проще подставить значения.

Проверим \(x = 3\): если \(x = 3\), то левая часть \((3 — 1)(3 — 3) = 2 \cdot 0 = 0\), правая часть требует проверки через \(x^4 + y^4 = 82\), но из \(y^2 = x — 2 = 3 — 2 = 1\), \(y = \pm 1\), тогда \(x^4 + y^4 = 3^4 + (\pm 1)^4 = 81 + 1 = 82\), что совпадает. Значит, \(x = 3\) — корень.

Итоговые пары: \((3; -1)\), \((3; 1)\). Ответ: \((3; -1)\), \((3; 1)\).