ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\(x^3 + 4y = y^3 + 16x, \frac{1 + y^2}{1 + x^2} = 5\).

Решить систему уравнений:
\( x^3 + 4y = y^3 + 16x \)
\( 1 + y^2 (1 + x^2) = 5 \)

1) Второе уравнение: \( 1 + y^2 = 5(1 + x^2) \); \( 1 + y^2 = 5 + 5x^2 \); \( y^2 = 4 + 5x^2 \);
2) Первое уравнение: \( x^3 + 4y = y(4 + 5x^2) + 16x \); \( x^3 + 4y = 4y + 5yx^2 + 16x \); \( 5yx^2 = x^3 — 16x \) | : \( x \); \( 5yx = x^2 — 16 \); \( y = \frac{x^2 — 16}{5x} \);
resh. 3) Одно из решений: \( x = 0 \);
\( y = \pm \sqrt{4 + 5 \cdot 0^2} = \pm 2 \);
4) Второе уравнение:
\( y^2 = 4 + 5x^2 \);
\( \left( \frac{x^2 — 16}{5x} \right)^2 = 4 + 5x^2 \); \( \frac{(x^2 — 16)^2}{25x^2} = 4 + 5x^2 \); \( (x^2 — 16)^2 = 25x^2 (4 + 5x^2) \); \( x^4 — 32x^2 + 256 = 100x^2 + 125x^4 \); \( 124x^4 + 132x^2 — 256 = 0 \) | : 4; \( 31x^4 + 33x^2 — 64 = 0 \); \( D = 33^2 + 4 \cdot 31 \cdot 64 = 1089 + 7936 = 9025 \), тогда:
\( x^2 = \frac{-33 \pm \sqrt{9025}}{2 \cdot 31} = \frac{-33 \pm 95}{62} \);
\( x^2 = \frac{-33 + 95}{62} = \frac{62}{62} = 1 \);
\( x^2 = \frac{-33 — 95}{62} = \frac{-128}{62} < 0 \) (не подходит); \( x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \); \( y = \frac{1 - 16}{5} = \frac{-15}{5} = -3 \); \( y = \frac{1 - 16}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 \); OTBET: \( (0; -2) \); \( (0; 2) \); \( (-1; 3) \); \( (1; -3) \).

Для решения системы уравнений \( x^3 + 4y = y^3 + 16x \) и \( 1 + y^2 (1 + x^2) = 5 \) необходимо провести пошаговый анализ, начиная с упрощения уравнений и поиска возможных решений. Второе уравнение можно переписать, чтобы выразить \( y^2 \) через \( x^2 \). Для этого преобразуем его: \( 1 + y^2 + y^2 x^2 = 5 \), что эквивалентно \( y^2 (1 + x^2) = 4 \). Однако, следуя предоставленному решению, перепишем как \( 1 + y^2 = 5(1 + x^2) \), что дает \( 1 + y^2 = 5 + 5x^2 \), и, следовательно, \( y^2 = 4 + 5x^2 \). Это выражение позволяет связать переменные \( x \) и \( y \), и мы можем подставить его в первое уравнение для дальнейшего решения. Важно отметить, что \( y^2 \) всегда положительно, а значит \( 4 + 5x^2 > 0 \), что выполняется для всех действительных \( x \), так как \( 5x^2 \geq 0 \). Таким образом, на данном этапе ограничений на \( x \) нет, и мы можем продолжить с подстановкой.

Теперь обратимся к первому уравнению \( x^3 + 4y = y^3 + 16x \). Используя выражение для \( y^2 = 4 + 5x^2 \), можно выразить \( y^3 \) как \( y \cdot y^2 = y (4 + 5x^2) \). Подставим это в первое уравнение: \( x^3 + 4y = y (4 + 5x^2) + 16x \). Раскроем правую часть: \( y (4 + 5x^2) + 16x = 4y + 5y x^2 + 16x \). Тогда уравнение принимает вид \( x^3 + 4y = 4y + 5y x^2 + 16x \). Вычтем \( 4y \) из обеих частей: \( x^3 = 5y x^2 + 16x \). Перенесем все члены в одну сторону: \( x^3 — 5y x^2 — 16x = 0 \). Можно вынести \( x \) за скобки: \( x (x^2 — 5y x — 16) = 0 \). Это дает одно очевидное решение \( x = 0 \), а также уравнение \( x^2 — 5y x — 16 = 0 \), из которого можно выразить \( y \). Если \( x \neq 0 \), то делим на \( x \): \( 5y x = x^2 — 16 \), откуда \( y = \frac{x^2 — 16}{5x} \). Таким образом, мы получили выражение для \( y \) через \( x \), которое можно подставить обратно во второе уравнение для нахождения значений \( x \).

Рассмотрим случай \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) во второе уравнение: \( y^2 = 4 + 5 \cdot 0^2 = 4 \), откуда \( y = \pm 2 \). Проверим эти значения в первом уравнении: для \( x = 0 \), \( y = 2 \): левая часть \( 0^3 + 4 \cdot 2 = 8 \), правая часть \( 2^3 + 16 \cdot 0 = 8 \), что совпадает; для \( y = -2 \): левая часть \( 0 + 4 \cdot (-2) = -8 \), правая часть \( (-2)^3 + 0 = -8 \), тоже совпадает. Таким образом, точки \( (0, 2) \) и \( (0, -2) \) являются решениями системы. Этот случай полностью решен, и теперь мы переходим к случаю, когда \( x \neq 0 \), используя выражение \( y = \frac{x^2 — 16}{5x} \). Подставим это выражение во второе уравнение \( y^2 = 4 + 5x^2 \): \( \left( \frac{x^2 — 16}{5x} \right)^2 = 4 + 5x^2 \). Возведем числитель в квадрат и разделим на знаменатель: \( \frac{(x^2 — 16)^2}{25x^2} = 4 + 5x^2 \). Умножим обе части на \( 25x^2 \), чтобы избавиться от знаменателя: \( (x^2 — 16)^2 = 25x^2 (4 + 5x^2) \). Раскроем скобки: слева \( (x^2 — 16)^2 = x^4 — 32x^2 + 256 \), справа \( 25x^2 \cdot 4 + 25x^2 \cdot 5x^2 = 100x^2 + 125x^4 \). Итоговое уравнение: \( x^4 — 32x^2 + 256 = 100x^2 + 125x^4 \). Перенесем все члены в левую часть: \( x^4 — 32x^2 + 256 — 100x^2 — 125x^4 = 0 \), что дает \( -124x^4 — 132x^2 + 256 = 0 \). Умножим на \(-1\) для удобства: \( 124x^4 + 132x^2 — 256 = 0 \). Разделим на 4: \( 31x^4 + 33x^2 — 64 = 0 \). Это биквадратное уравнение, которое решается подстановкой \( z = x^2 \), где \( z \geq 0 \).

Решим уравнение \( 31z^2 + 33z — 64 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 33^2 — 4 \cdot 31 \cdot (-64) = 1089 + 7936 = 9025 \). Корень из дискриминанта: \( \sqrt{9025} = 95 \). Тогда \( z = \frac{-33 \pm 95}{2 \cdot 31} = \frac{-33 \pm 95}{62} \). Первое значение: \( z = \frac{-33 + 95}{62} = \frac{62}{62} = 1 \); второе значение: \( z = \frac{-33 — 95}{62} = \frac{-128}{62} \approx -2.06 \), что не подходит, так как \( z = x^2 \geq 0 \). Таким образом, \( x^2 = 1 \), откуда \( x = \pm 1 \). Найдем соответствующие значения \( y \). Для \( x = 1 \): \( y = \frac{1^2 — 16}{5 \cdot 1} = \frac{-15}{5} = -3 \); для \( x = -1 \): \( y = \frac{(-1)^2 — 16}{5 \cdot (-1)} = \frac{1 — 16}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 \). Проверим эти решения во втором уравнении. Для \( x = 1 \), \( y = -3 \): \( y^2 = (-3)^2 = 9 \), а \( 4 + 5x^2 = 4 + 5 \cdot 1 = 9 \), совпадает; для \( x = -1 \), \( y = 3 \): \( y^2 = 9 \), а \( 4 + 5 \cdot 1 = 9 \), тоже совпадает. Теперь проверим в первом уравнении. Для \( x = 1 \), \( y = -3 \): левая часть \( 1^3 + 4 \cdot (-3) = 1 — 12 = -11 \), правая часть \( (-3)^3 + 16 \cdot 1 = -27 + 16 = -11 \), совпадает; для \( x = -1 \), \( y = 3 \): левая часть \( (-1)^3 + 4 \cdot 3 = -1 + 12 = 11 \), правая часть \( 3^3 + 16 \cdot (-1) = 27 — 16 = 11 \), тоже совпадает. Таким образом, эти точки также являются решениями.

Итак, мы нашли все решения системы уравнений. Кроме уже упомянутых точек \( (0, 2) \) и \( (0, -2) \), полученных при \( x = 0 \), у нас есть точки \( (1, -3) \) и \( (-1, 3) \), найденные при решении биквадратного уравнения. Важно отметить, что при решении мы учли все возможные случаи, включая проверку на отрицательные значения \( x^2 \), которые были отброшены, так как они не имеют смысла в контексте действительных чисел. Также мы проверили каждое решение в обоих уравнениях, чтобы убедиться в их корректности. Если бы уравнение имело больше корней или дополнительные ограничения, мы бы продолжили анализ, но в данном случае все возможные решения уже найдены. Таким образом, система имеет четыре решения, которые полностью удовлетворяют оба уравнения. Эти решения можно представить как пары координат точек на плоскости, где каждое уравнение определяет кривую, а решения — это точки пересечения этих кривых. Итоговые решения системы: \( (0, -2) \), \( (0, 2) \), \( (-1, 3) \), \( (1, -3) \).