ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите решения неравенства \(|x + 2|(x^2 — a^2) > 0\) в зависимости от значения параметра \(a\).

1) Решения неравенства:
\( x^2 — a^2 > 0 \); \( (x + a)(x — a) > 0 \); \( x < -|a| \), \( x > |a| \);

2) Исключается точка: \( x + 2 = 0 \); \( x = -2 \);

Ответ: если \( a \leq -2 \), то \( x \in (-\infty; a) \cup (-a; +\infty) \); если \( -2 < a < 0 \), то \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; a) \cup (-a; +\infty) \); если \( a = 0 \), то \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty) \); если \( 0 < a < 2 \), то \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -a) \cup (a; +\infty) \); если \( a \geq 2 \), то \( x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty) \).

Для решения неравенства \( |x + 2|(x^2 — a^2) > 0 \) необходимо рассмотреть несколько аспектов, связанных с поведением выражения в зависимости от параметра \( a \). Прежде всего, неравенство вида произведения больше нуля означает, что либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны. Однако из-за модуля \( |x + 2| \), который всегда неотрицателен, ситуация упрощается: произведение будет больше нуля, если \( x^2 — a^2 > 0 \), так как \( |x + 2| > 0 \) при \( x \neq -2 \). Таким образом, основное внимание уделяется решению неравенства \( x^2 — a^2 > 0 \), что эквивалентно \( (x + a)(x — a) > 0 \). Это означает, что \( x \) должен быть либо больше \( |a| \), либо меньше \( -|a| \), то есть \( x \in (-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty) \). Однако точка \( x = -2 \) исключается из рассмотрения, так как в ней модуль обращается в ноль, и неравенство не выполняется строго.

Далее необходимо учитывать значение параметра \( a \), поскольку оно влияет на расположение критических точек \( -|a| \) и \( |a| \) на числовой оси относительно точки \( x = -2 \). Рассмотрим различные случаи для \( a \). Если \( a \leq -2 \), то \( |a| = -a \), и критические точки будут \( x = a \) (отрицательное значение меньше или равно -2) и \( x = -a \) (положительное значение больше или равно 2). Решение неравенства \( x^2 — a^2 > 0 \) дает \( x < a \) или \( x > -a \), то есть \( x \in (-\infty; a) \cup (-a; +\infty) \). Точка \( x = -2 \) в этом случае либо совпадает с \( a \) (если \( a = -2 \)), либо находится правее \( a \), но так как она исключается, это не меняет интервалы решения. Если \( -2 < a < 0 \), то \( |a| = -a \), и точки \( x = a \) и \( x = -a \) будут расположены так, что \( a \) находится между \( -2 \) и \( 0 \), а \( -a \) — между \( 0 \) и \( 2 \). Решение неравенства дает \( x < a \) или \( x > -a \), но точка \( x = -2 \) находится левее \( a \), и её исключение разбивает интервал \( (-\infty; a) \) на \( (-\infty; -2) \cup (-2; a) \), что приводит к итоговому решению \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; a) \cup (-a; +\infty) \). Для случая \( a = 0 \) неравенство принимает вид \( |x + 2| \cdot x^2 > 0 \), что выполняется при \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \), то есть \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty) \).

Если \( 0 < a < 2 \), то \( |a| = a \), и критические точки \( x = -a \) и \( x = a \) находятся между \( -2 \) и \( 2 \). Решение \( x^2 - a^2 > 0 \) дает \( x < -a \) или \( x > a \), то есть \( x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty) \). Точка \( x = -2 \) находится левее \( -a \), и её исключение разбивает интервал \( (-\infty; -a) \) на \( (-\infty; -2) \cup (-2; -a) \), что приводит к решению \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -a) \cup (a; +\infty) \). Наконец, если \( a \geq 2 \), то \( |a| = a \), и точки \( x = -a \) и \( x = a \) расположены так, что \( -a \leq -2 \), а \( a \geq 2 \). Решение неравенства \( x^2 — a^2 > 0 \) дает \( x < -a \) или \( x > a \), то есть \( x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty) \). Точка \( x = -2 \) либо совпадает с \( -a \) (если \( a = 2 \)), либо находится правее, но её исключение не влияет на интервалы, так как она уже либо на границе, либо внутри исключённого участка. Итоговое решение для всех случаев можно представить в виде таблицы:

Таким образом, решение неравенства \( |x + 2|(x^2 — a^2) > 0 \) зависит от положения критических точек, определяемых значением \( a \), и от исключения точки \( x = -2 \). Каждый случай требует тщательного анализа расположения точек на числовой оси, чтобы правильно определить интервалы, где неравенство выполняется.