ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — 1}} — \sqrt{x — 1}\)

1) Область определения: \(x-1 \geq 0\); \(x \geq 1\);

2) График функции:

\( y = 2x + 2\sqrt{x^2-1} — \sqrt{x-1} \)

\( y = (x+1) + 21(x+1)(x-1) + (x-1) — \sqrt{x-1} \)

\( y = (\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}) — \sqrt{x-1} \)

\( y = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} — \sqrt{x-1} = \sqrt{x+1} \)

Давайте разберем задачу построения графика функции и определения ее области определения с максимальной детализацией. Рассмотрим функцию, которая представлена в нескольких эквивалентных формах, чтобы понять, как она преобразуется и упрощается. Первоначально функция задана как \( y = 2x + 2\sqrt{x^2 — 1} — \sqrt{x — 1} \), и наша цель — не только определить область определения, но и понять, как эта функция ведет себя на этой области, а также как можно упростить выражение для более удобного построения графика. Мы пройдем через каждый шаг, начиная с области определения, затем рассмотрим упрощение выражения и, наконец, обсудим особенности построения графика. Этот процесс поможет нам глубже понять поведение функции и возможные сложности, связанные с ее анализом.

Область определения функции определяется наличием квадратных корней в выражении, поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае у нас есть два квадратных корня: \( \sqrt{x^2 — 1} \) и \( \sqrt{x — 1} \). Для первого корня необходимо, чтобы \( x^2 — 1 \geq 0 \), что эквивалентно \( x \leq -1 \) или \( x \geq 1 \). Для второго корня требуется \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \). Пересекая эти условия, мы получаем, что функция определена только при \( x \geq 1 \), так как это единственный интервал, удовлетворяющий обоим ограничениям. Таким образом, область определения функции — это \( x \geq 1 \), и на всех значениях \( x < 1 \) функция не определена из-за отрицательных значений под корнем. Это важно учитывать при построении графика, так как график будет существовать только справа от точки \( x = 1 \). Также стоит отметить, что в точке \( x = 1 \) мы можем подставить значение и проверить, является ли оно допустимым: при \( x = 1 \) первый корень \( \sqrt{1^2 - 1} = \sqrt{0} = 0 \), а второй \( \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0 \), что допустимо, значит, точка \( x = 1 \) входит в область определения. Теперь перейдем к упрощению выражения функции, чтобы облегчить построение графика. В исходном тексте представлены несколько форм функции, и мы видим, что она последовательно упрощается. Начнем с выражения \( y = (x + 1) + 21(x + 1)(x - 1) + (x - 1) - \sqrt{x - 1} \). Здесь множитель 21 перед \( (x + 1)(x - 1) \) выглядит подозрительно большим, и, возможно, это опечатка, но мы будем следовать заданному тексту. Вычислим \( (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \), тогда \( 21(x^2 - 1) = 21x^2 - 21 \). Сложим все члены: \( y = (x + 1) + (21x^2 - 21) + (x - 1) - \sqrt{x - 1} = 21x^2 + 2x - 21 - \sqrt{x - 1} \). Это выражение все еще сложное, и в следующем шаге мы видим другую форму: \( y = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \). Здесь происходит упрощение, так как \( \sqrt{x - 1} \) сокращается, и мы получаем \( y = \sqrt{x + 1} \). Это значительно проще, чем исходное выражение, и теперь мы понимаем, что функция сводится к \( y = \sqrt{x + 1} \) на области определения \( x \geq 1 \). Это выражение легко анализировать: оно начинается в точке \( x = 1 \), где \( y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414 \), и возрастает по мере увеличения \( x \), так как корень — возрастающая функция. Важно отметить, что упрощение до \( y = \sqrt{x + 1} \) позволяет нам избежать сложных вычислений с исходным выражением и сразу перейти к построению графика простой функции. Построение графика функции \( y = \sqrt{x + 1} \) не представляет сложности, но давайте разберем его особенности на области \( x \geq 1 \). Во-первых, как уже упоминалось, график начинается в точке \( (1, \sqrt{2}) \), что примерно равно \( (1, 1.414) \). Для построения графика можно взять несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие \( y \). Например, при \( x = 3 \), \( y = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \); при \( x = 8 \), \( y = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 \); при \( x = 15 \), \( y = \sqrt{15 + 1} = \sqrt{16} = 4 \). Таким образом, мы видим, что график плавно возрастает, но скорость роста уменьшается, так как производная функции \( y = \sqrt{x + 1} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \), которая уменьшается с ростом \( x \). Это означает, что график становится более пологим на больших значениях \( x \). Также стоит отметить, что функция не имеет вертикальных асимптот, но имеет начальную точку \( x = 1 \), и слева от этой точки график не существует из-за ограничений области определения. Если сравнивать это с исходным выражением \( y = 2x + 2\sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x - 1} \), то можно заметить, что без упрощения построение графика было бы гораздо сложнее из-за необходимости вычислять значения с учетом корней и больших коэффициентов. В заключение, мы подробно рассмотрели задачу определения области определения и упрощения функции для построения ее графика. Мы установили, что область определения ограничена условием \( x \geq 1 \), и после упрощения сложного выражения получили простую функцию \( y = \sqrt{x + 1} \), которая легко поддается анализу и построению. Этот процесс показывает важность алгебраических преобразований в упрощении выражений, что значительно облегчает дальнейшую работу с функцией. Кроме того, мы обсудили поведение графика, его начальную точку и характер роста, что позволяет представить, как выглядит график без необходимости сложных вычислений. Если бы мы работали с исходным выражением, то могли бы столкнуться с трудностями в интерпретации значений, особенно из-за больших коэффициентов и сложных корней, но благодаря упрощению задача стала гораздо более доступной для понимания и решения.