ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{2}{12}, 2x — y = 2\);
2) \(\frac{3}{x — 1} — \frac{2}{y} = 2, x — y = 4\);
3) \(\frac{2}{y — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2}, \frac{3}{x — 2} — \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\).

Первое уравнение:
\(\frac{1}{x} — \frac{1}{2(x-1)} = \frac{1}{12}\)
\(12x(x-1)\)
\(12(x-1) — 6x = x(x-1)\)
\(12x — 12 — 6x = x^2 — x\)
\(x^2 — 7x + 12 = 0\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 \Rightarrow x_1 = \frac{7-1}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{7+1}{2} = 4\)
\(y_1 = 2 \cdot 3 — 2 = 4\) и \(y_2 = 2 \cdot 4 — 2 = 6\)
Ответ: \((3; 4), (4; 6)\).

Второе уравнение:
\(\frac{3x + y}{x-1} — \frac{x-y}{2y} = 2\)
\(y = x — 4\)
\(\frac{3x + x — 4}{x-1} — \frac{x-(x-4)}{2(x-4)} = 2\)
\(\frac{4x-4}{x-1} — \frac{1}{2(x-4)} = 2\)
\(4x-4 — \frac{x-1}{2(x-4)} = 2(x-1)\)
\(2x^2 — 8x — 2x + 8 — x + 1 = x^2 — 4x — x + 4\)
\(x^2 — 6x + 5 = 0\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\)
\(x_1 = \frac{6-4}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{6+4}{2} = 5\)
\(y_1 = 1 — 4 = -3\) и \(y_2 = 5 — 4 = 1\)
Ответ: \((5; 1)\).
Третье уравнение:
\(\frac{2}{y-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2};\)
\(\frac{x-2}{y} = -\frac{3}{y}\)

Второе уравнение:
\(y = -3(x-2);\)
\(y = 6-3x;\)

Первое уравнение:
\(\frac{2}{6-3x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2};\)
\(\frac{2}{5-3x} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2};\)
\(1 \cdot 2(5-3x)(x+1) = 5(5-3x+1);\)
\(4(x+1) + 6(5-3x) = 5(5-3x)(x+1);\)
\(4x + 4 + 30 — 18x = 5(5x + 5 — 3x^2 — 3x);\)
\(34 — 14x = 10x + 25 — 15x^2;\)
\(15x^2 — 24x + 9 = 0 \quad |\cdot \frac{1}{3};\)
\(5x^2 — 8x + 3 = 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 — 60 = 4, \text{тогда:}\)
\(x_1 = \frac{8-2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \text{ и } x_2 = \frac{8+2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1;\)
\(y_1 = 6 — 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{21}{5} \text{ и } y_2 = 6 — 3 \cdot 1 = 3;\)

Ответ: \(\left(\frac{3}{5}, \frac{21}{5}\right), (1, 3).\)

Для первого уравнения \(\frac{1}{x} — \frac{1}{2(x-1)} = \frac{1}{12}\) умножим обе стороны на \(12x(x-1)\), чтобы избавиться от дробей. Мы получаем:

\[
12x(x-1) \left(\frac{1}{x} — \frac{1}{2(x-1)}\right) = 12x(x-1) \cdot \frac{1}{12}
\]

Упрощая, получаем:

\[
12(x-1) — 6x = x(x-1)
\]

Раскрываем скобки:

\[
12x — 12 — 6x = x^2 — x
\]

Собираем все члены в одну сторону:

\[
x^2 — 7x + 12 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\]

Теперь находим соответствующие значения \(y\):

\[
y_1 = 2 \cdot 3 — 2 = 4, \quad y_2 = 2 \cdot 4 — 2 = 6
\]

Таким образом, решения первого уравнения: \((3, 4), (4, 6)\).

Для второго уравнения \(\frac{3x + y}{x-1} — \frac{x-y}{2y} = 2\) подставляем \(y = x — 4\):

\[
\frac{3x + (x — 4)}{x-1} — \frac{x — (x — 4)}{2(x — 4)} = 2
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{4x — 4}{x — 1} — \frac{1}{2(x — 4)} = 2
\]

Умножаем на \(2(x — 1)(x — 4)\):

\[
2(4x — 4)(x — 4) — (x — 1) = 4(x — 1)(x — 4)
\]

Упрощаем:

\[
8x^2 — 32x — x + 4 = 4(x^2 — 5x + 4)
\]

Собираем все члены:

\[
8x^2 — 32x — x + 4 — 4x^2 + 20x — 16 = 0
\]

Это приводит к:

\[
4x^2 — 13x — 12 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-13)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{13 — 19}{8} = -\frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{13 + 19}{8} = 4
\]

Подставляем \(y\):

\[
y_1 = -\frac{3}{4} — 4 = -\frac{19}{4}, \quad y_2 = 4 — 4 = 0
\]

Таким образом, решения второго уравнения: \((-0.75, -4.75), (4, 0)\).

Для третьего уравнения \(\frac{2}{y-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2}\) и \(\frac{x-2}{y} = -\frac{3}{y}\), из второго уравнения получаем \(y = -3(x — 2)\):

\[
y = 6 — 3x
\]

Подставляем \(y\) в первое уравнение:

\[
\frac{2}{6 — 3x — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2}
\]

Упрощаем:

\[
\frac{2}{5 — 3x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2}
\]

Умножаем на \(2(5 — 3x)(x + 1)\):

\[
2 \cdot 2(5 — 3x)(x + 1) = 5(5 — 3x + 1)
\]

Это приводит к:

\[
4(x + 1) + 6(5 — 3x) = 5(5x + 5 — 3x^2 — 3x)
\]

Собираем все члены:

\[
34 — 14x = 10x + 25 — 15x^2
\]

Переписываем уравнение:

\[
15x^2 — 24x + 9 = 0
\]

Находим дискриминант:

\[
D = (-24)^2 — 4 \cdot 15 \cdot 9 = 576 — 540 = 36
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{24 — 6}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}, \quad x_2 = \frac{24 + 6}{30} = 1
\]

Находим \(y\):

\[
y_1 = 6 — 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{21}{5}, \quad y_2 = 3
\]

Таким образом, решения третьего уравнения: \(\left(\frac{3}{5}, \frac{21}{5}\right), (1, 3)\).